Grupo puntual

La flor Bauhinia blakeana representada en la bandera de Hong Kong tiene simetría C5; la estrella interior de cada pétalo tiene simetría D5.

En geometría y cristalografía, un grupo puntual es un grupo de simetrías geométricas (grupo de isometría) que mantiene constante por lo menos un punto fijo. Los grupos puntuales pueden existir en un espacio euclidiano de cualquier otra dimensión, y cada grupo puntual en la dimensión d es un subgrupo del grupo ortogonal O(d). Los grupos puntuales pueden ser considerados como un conjunto de matrices ortogonales M que transforman un punto x en un punto y:

y= M.x

donde el origen es el punto fijo. Los elementos de los grupos puntuales pueden ser: rotaciones (determinante de M= 1) rotaciones impropias, reflexiones, rotaciones-reflexiones, o rotoreflexiones (determinante de M= -1). Todos los grupos puntuales de las rotaciones de dimensión d son subgrupos del grupo ortogonal especial SO(d).

Los grupos puntuales discretos en más de una dimensión se agrupan en familias infinitas, pero por el teorema de restricción cristalográfica y por uno de los teoremas de Bieberbach, cada número de dimensiones solo tiene un número finito de grupos puntuales que son simétricos respecto de una red o retícula con ese número de dimensiones. Estos son los grupos puntuales cristalográficos.

Una dimensión

Solo hay dos grupos puntuales unidimensionales, el grupo identidad y el grupo reflexión.

Grupo Coxeter Diagrama de Coxeter Orden Descripción
C1 [ ]+ 1 Identidad
D1 [ ] 2 Grupo reflexión

Dos dimensiones

Los grupos puntuales planos son a veces llamados grupos de roseta.

Se agrupan en dos familias infinitas:

  1. Grupos cíclicos Cn o grupos de rotación de orden n
  2. Grupos diedral Dn de rotación de orden n y grupos de reflexión.

Aplicando el teorema de restricción cristalográfica n queda limitado a los valores 1, 2, 3, 4 y 6 para ambas familias, produciendo 10 grupos.

Grupo Intl Orbifold Coxeter Orden Descripción
Cn n nn [n]+ n Cíclico: rotaciones de orden n. Extraer el grupo Zn, el grupo de los enteros bajo la adición módulo n.
Dn nm *nn [n] 2n Diedral: cíclico con reflexiones. Extraer el grupo Dihn, el grupo diedral.

El subconjunto de grupos puntuales de reflexión pura, se define por uno o dos ejes de simetría, también se puede dar por su grupo de Coxeter y polígonos relacionados. Estos incluyen cinco grupos cristalográficos.

Grup0 Coxeter group Diagrama de Coxeter Orden Polígonos relacionados
D3 A2 [3] 6 Triángulo equilátero
D4 BC2 [4] 8 Cuadrado
D5 H2 [5] 10 Pentágono regular
D6 G2 [6] 12 Hexágono regular
Dn I2(n) [n] 2n Polígono regular
D2n I2(2n) [[n]]=[2n] 4n Polígono regular
D2 A12 [2] 4 Rectángulo
D1 A1 [ ] 2 Dígono

Tres dimensiones

Los grupos puntuales tridimensionales son a veces llamados grupos puntuales moleculares por su amplio uso en el estudio de las simetrías de las moléculas pequeñas.

Se agrupan en siete familias infinitas de grupos axiales o prismáticos, y 7 grupos poliédricos adicionales o grupos platónicos. En notación de Schönflies,

  • Los grupos axiales: Cn, S2n, Cnh, Cnv, Dn, Dnd, Dnh
  • Grupos poliédricos: T, Td, Th, O, Oh, I, Ih

Aplicando el teorema de restricción cristalográfica a estos grupos se obtienen los 32 grupos puntuales cristalográficos.

Dominios cuyo grupo de simetría se corresponde con los grupos puntuales
C1v
Orden 2 		C2v
Orden 4 		C3v
Orden 6 		C4v
Orden 8 		C5v
Orden 10 		C6v
Orden 12 		...
D1h
Orden 4 		D2h
Orden 8 		D3v
Orden 12 		D4h
Orden 16 		D5h
Orden 20 		D6h
Orden 24 		...
Td
Orden 24 		Oh
Orden 48 		Ih
Orden 120
Intl* Geo
[1]​ 		Orbifold Schönflies Conway Coxeter Orden
1 1 1 C1 C1 [ ]+ 1
1 22 ×1 Ci = S2 CC2 [2+,2+] 2
2 = m 1 *1 Cs = C1v = C1h ±C1 = CD2 [ ] 2
2
3
4
5
6
n 		2
3
4
5
6
n 		22
33
44
55
66
nn 		C2
C3
C4
C5
C6
Cn 		C2
C3
C4
C5
C6
Cn 		[2]+
[3]+
[4]+
[5]+
[6]+
[n]+
 2
3
4
5
6
n
2mm
3m
4mm
5m
6mm
nmm
nm 		2
3
4
5
6
n 		*22
*33
*44
*55
*66
*nn 		C2v
C3v
C4v
C5v
C6v
Cnv 		CD4
CD6
CD8
CD10
CD12
CD2n 		[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[n] 		4
6
8
10
12
2n
2/m
3/m
4/m
5/m
6/m
n/m 		2 2
3 2
4 2
5 2
6 2
n 2 		2*
3*
4*
5*
6*
n* 		C2h
C3h
C4h
C5h
C6h
Cnh 		±C2
CC6
±C4
CC10
±C6
±Cn / CC2n 		[2,2+]
[2,3+]
[2,4+]
[2,5+]
[2,6+]
[2,n+] 		4
6
8
10
12
2n
4
3
8
5
12
2n
n 		4 2
6 2
8 2
10 2
12 2
2n 2 		2×
3×
4×
5×
6×
n× 		S4
S6
S8
S10
S12
S2n 		CC4
±C3
CC8
±C5
CC12
CC2n / ±Cn 		[2+,4+]
[2+,6+]
[2+,8+]
[2+,10+]
[2+,12+]
[2+,2n+] 		4
6
8
10
12
2n
Intl* Geo
[1]​ 		Orbifold Schönflies Conway Coxeter Orden
222
32
422
52
622
n22
n2 		2 2
3 2
4 2
5 2
6 2
n 2 		222
223
224
225
226
22n 		D2
D3
D4
D5
D6
Dn 		D4
D6
D8
D10
D12
D2n 		[2,2]+
[2,3]+
[2,4]+
[2,5]+
[2,6]+
[2,n]+ 		4
6
8
10
12
2n
mmm
6m2
4/mmm
10m2
6/mmm
n/mmm
2nm2 		2 2
3 2
4 2
5 2
6 2
n 2 		*222
*223
*224
*225
*226
*22n 		D2h
D3h
D4h
D5h
D6h
Dnh 		±D4
DD12
±D8
DD20
±D12
±D2n / DD4n 		[2,2]
[2,3]
[2,4]
[2,5]
[2,6]
[2,n] 		8
12
16
20
24
4n
42m
3m
82m
5m
122m
2n2m
nm 		4 2
6 2
8 2
10 2
12 2
n 2
 2*2
2*3
2*4
2*5
2*6
2*n 		D2d
D3d
D4d
D5d
D6d
Dnd 		±D4
±D6
DD16
±D10
DD24
DD4n / ±D2n 		[2+,4]
[2+,6]
[2+,8]
[2+,10]
[2+,12]
[2+,2n] 		8
12
16
20
24
4n
23 3 3 332 T T [3,3]+ 12
m3 4 3 3*2 Th ±T [3+,4] 24
43m 3 3 *332 Td TO [3,3] 24
432 4 3 432 O O [3,4]+ 24
m3m 4 3 *432 Oh ±O [3,4] 48
532 5 3 532 I I [3,5]+ 60
53m 5 3 *532 Ih ±I [3,5] 120
(*) Cuando el símbolo en la columna Intl aparece duplicado, el primero es para n par, el segundo para n impar.

El subconjunto de grupos puntuales de reflexión pura, definido por 1 a 3 planos de simetría, también se puede dar por su grupo de Coxeter y poliedros relacionados. El grupo [3,3] se puede doblar, notándose como [[3,3]], haciendo coincidir los ejes primero y último uno sobre el otro, duplicando la simetría a orden 48, y resultando isomorfo con el grupo [4,3].

Schönflies Grupo de Coxeter Diagrama de Coxeter Orden Poliedro regular y prismático relacionado
Td A3 [3,3] 24 Tetraedro
Oh BC3 [4,3]
=[[3,3]]
48 Cubo, octaedro
Octaedro estrellado
Ih H3 [5,3] 120 Icosaedro, dodecaedro
D3h A2×A1 [3,2] 12 Prisma triangular
D4h BC2×A1 [4,2] 16 Prisma cuadrado
D5h H2×A1 [5,2] 20 Prisma pentagonal
D6h G2×A1 [6,2] 24 Prisma hexagonal
Dnh I2(n)×A1 [n,2] 4n Prisma n-gonal
D2h A13 [2,2] 8 Cuboide
C3v A2×A1 [3] 6 Hosoedro
C4v BC2×A1 [4] 8
C5v H2×A1 [5] 10
C6v G2×A1 [6] 12
Cnv I2(n)×A1 [n] 2n
C2v A12 [2] 4
Cs A1 [ ] 2

Véase también

Notas

  1. ↑ a b The Crystallographic Space groups in Geometric algebra, D. Hestenes and J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 pages) PDF [1] Archivado el 20 de octubre de 2020 en Wayback Machine.

Referencias

  • Los grupos puntuales. En: Teoría de grupos aplicada para químicos, físicos e ingenieros. Allen Nussbaum. Editorial Reverté, 1975. ISBN 842914109X.
  • H.S.M. Coxeter: Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • H.S.M. Coxeter and W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups 4th ed, Springer-Verlag. New York. 1980
  • N.W. Johnson: Geometries and Transformations, Manuscript, (2011) Chapter 11: Finite symmetry groups

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