En estadística, la función gaussiana (también, campana de Gauss o curva de Gauss), llamada así en honor a Carl Friedrich Gauss, es una función definida por la expresión:
donde a, b y c son constantes reales (c > –1). El parámetro a es el valor del punto más alto de la campana, b es la posición del centro de la campana y c (la desviación estándar, a veces llamada media cuadrática o valor cuadrático medio) controla el ancho de la campana.
Las gaussianas se encuentran entre las funciones elementales, aunque no poseen primitivas elementales. Sin embargo, el valor exacto de la integral impropia sobre todo el rango real puede derivarse a partir del valor de la integral de Gauss obteniéndose que:
Las funciones gaussianas con c2 = 2 son las autofunciones de la transformada de Fourier. Esto significa que la transformada de Fourier de una función gaussiana no es solo otra gaussiana, sino además un múltiplo escalar de la función original.
La gráfica de la función es simétrica con forma de campana, conocida como campana de Gauss. El parámetro a es la altura de la campana centrada en el punto b, determinando c el ancho de la misma.
Integral de una función gaussiana
La integral de una función gaussiana cualquiera es
cuya forma alternativa es
donde f debe ser positiva para que la integral pueda converger.
Relación con la integral gaussiana estándar
La integral
para algunos valores reales a, b, c > 0 puede ser calculada representándola en forma de integral de Gauss. Para ello, la constante a puede ser operada fuera de la integral, después, la variable con respecto a la que se integra(diferencial) se cambia de x a y= x-b .
En dos dimensiones, el exponente de la potencia de e dentro de la función de Gauss es cualquier valor negativo y definido en forma cuadrática. Como consecuencia, los niveles de la función siempre serán elipses.
Un ejemplo de la función de dos dimensiones es
En la función, el coeficiente A es la amplitud, xo,yo es el centro y σx, σy son x e y extendidos a la gráfica.
El volumen bajo la función de Gauss es dado por esta integral