Frío y calor (teoría de juegos combinatorios)

En la teoría de juegos combinatorios, enfriar, calentar y sobrecalentar son operaciones en juegos calientes para hacerlos más adaptables a los métodos tradicionales de la teoría, que fue originalmente ideada para juegos fríos en los que el ganador es el último jugador en tener un movimiento legal.[1]​ El sobrecalentamiento se generalizó por Elwyn Berlekamp para el análisis de Blockbusting.[2]​ El enfriamiento (o unheating) y el calentamiento son variantes utilizadas en el análisis de la fase final del go.[3]​[4]​

La refrigeración y el enfriamiento pueden considerarse como un impuesto sobre el jugador que se mueve, haciéndolo pagar por el privilegio de hacerlo, mientras que la calefacción, el calentamiento y el sobrecalentamiento son operaciones que invierten más o menos el enfriamiento y el enfriamiento.

Operaciones básicas: refrigeración, calefacción

El juego enfriado ${\displaystyle G_{t}}$ ("${\displaystyle G}$ enfriado por ${\displaystyle t}$") para un juego ${\displaystyle G}$ y un número (surreal) ${\displaystyle t}$ está definido por[5]​

${\displaystyle G_{t}={\begin{cases}\{G_{t}^{L}-t\mid G_{t}^{R}+t\}&{\text{ para todos los números }}t\leq {\text{ cualquier número }}\tau {\text{ para el cual }}G_{\tau }{\text{ está infinitesimalmente cerca de algún número }}m{\text{ , }}\\G_{t}=m&{\text{ para }}t>\tau \end{cases}}}$.

La cantidad ${\displaystyle t}$ por la cual ${\displaystyle G}$ e enfría se conoce como temperatura; el mínimo ${\displaystyle \tau }$ por la cual ${\displaystyle G_{\tau }}$ está infinitesimalmente cerca de ${\displaystyle m}$ se conoce como la temperatura ${\displaystyle t(G)}$ de ${\displaystyle G}$; ${\displaystyle G}$ se dice que se congela a

${\displaystyle G_{\tau }}$; ${\displaystyle m}$ es el valor medio (o simplemente la media) de ${\displaystyle G}$.

La calefacción es la inversa de la refrigeración y se define como la "integral"[6]​

${\displaystyle \int ^{t}G={\begin{cases}G&{\text{ if }}G{\text{ is a number, }}\\\{\int ^{t}(G^{L})+t\mid \int ^{t}(G^{R})-t\}&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}}$

Multiplicación y sobrecalentamiento

La multiplication de Norton es una extensión de la multiplicación a un juego ${\displaystyle G}$ y un juego positivo ${\displaystyle U}$ (la "unidad") definida por[7]​

${\displaystyle G.U={\begin{cases}G\times s&{\text{ (i.e. the sum of }}G{\text{ copies of }}s{\text{) if }}G{\text{ is a non-negative integer, }}\\-G\times -s&{\text{ if }}G{\text{ is a negative integer, }}\\\{G^{L}.U+(U+I)\mid G^{R}.U-(U+I)\}{\text{ where }}I{\text{ ranges over }}\Delta (U)&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}}$

Los incentivos ${\displaystyle \Delta (U)}$ de un juego ${\displaystyle U}$ se definen como ${\displaystyle \{u-U:u\in U^{L}\}\cup \{U-u:u\in U^{R}\}}$.

El sobrecalentamiento es una extensión de la calefacción utilizada en la solución del Blockbusting de Berlekamp, donde ${\displaystyle G}$ recalentado de ${\displaystyle s}$ a ${\displaystyle t}$ está definido para juegos arbitrarios ${\displaystyle G,s,t}$ con ${\displaystyle s>0}$ como[8]​

${\displaystyle \int _{s}^{t}G={\begin{cases}G.s&{\text{ si }}G{\text{ es un entero, }}\\\{\int _{s}^{t}(G^{L})+t\mid \int _{s}^{t}(G^{R})-t\}&{\text{ de lo contrario. }}\end{cases}}}$

Winning Ways for your Mathematical Plays también define el sobrecalentamiento de un juego ${\displaystyle G}$ por un juego positivo ${\displaystyle X}$, como[9]​

${\displaystyle \int _{0}^{t}G=\{\int _{0}^{t}(G^{L})+X\mid \int _{0}^{t}(G^{R})-X\}}$

Téngase en cuenta que en esta definición los números no se tratan de manera diferente a los juegos arbitrarios, y que el "límite inferior" 0 lo distingue de la definición anterior de Berlekamp

Operationes para el go: enfriamiento y calentamiento

El enfriamiento es una variante del enfriamiento por ${\displaystyle 1}$ se utiliza para analizar el final de go y está definido por[10]​

${\displaystyle f(G)={\begin{cases}m&{\text{ Si }}G{\text{ es de la forma }}m{\text{ o }}m*{\text{ , }}\\\{f(G^{L})-1\mid F(G^{R})+1\}&{\text{ de lo contrario}}.\end{cases}}}$

Esto es equivalente a enfriar por ${\displaystyle 1}$ cuando ${\displaystyle G}$ es una "posición de go incluso elemental en forma canónica".[11]​

El calentamiento es un caso especial de sobrecalentamiento, a saber ${\displaystyle \int _{1*}^{1}}$, normalmente escrito simplemente como ${\displaystyle \int }$ que invierte el enfriamiento cuando ${\displaystyle G}$ es una "posición de go incluso elemental en forma canónica". En este caso, la definición anterior se simplifica a la forma[12]​

${\displaystyle \int G={\begin{cases}G&{\text{ Si }}G{\text{ es un entero par, }}\\G*&{\text{ Si }}G{\text{ es un entero impar, }}\\\{\int (G^{L})+1\mid \int (G^{R})-1\}&{\text{ otro caso. }}\end{cases}}}$

Referencias

1. Berlekamp, Elwyn R.; Conway, John H.; Guy, Richard K. (1982). Winning Ways for Your Mathematical Plays. Academic Press. pp. 147, 163, 170. ISBN 978-0-12-091101-1. 
2. Berlekamp, Elwyn R (1 de septiembre de 1988). «Blockbusting and domineering». Journal of Combinatorial Theory, Series A (en inglés) 49 (1): 67-116. ISSN 0097-3165. doi:10.1016/0097-3165(88)90028-3. Consultado el 15 de febrero de 2021. 
3. Berlekamp, Elwyn; Wolfe, David (1997). Mathematical Go: Chilling Gets the Last Point. A K Peters Ltd. ISBN 978-1-56881-032-4. (requiere registro). 
4. Berlekamp, Elwyn; Wolfe, David (1994). Mathematical Go Endgames. Ishi Press. pp. 50-55. ISBN 978-0-923891-36-7.  (paperback version of Mathematical Go: Chilling Gets the Last Point)
5. Berlekamp, Conway & Guy (1982), p. 147
6. Berlekamp, Conway & Guy (1982), p. 163
7. Berlekamp, Conway & Guy (1982), p. 246
8. Berlekamp (1987), p. 77
9. Berlekamp, Conway & Guy (1982), p. 170
10. Berlekamp & Wolfe (1994), p. 53
11. Berlekamp & Wolfe (1994), pp. 53–55
12. Berlekamp & Wolfe (1994), pp. 52–55

Enlaces externos

• Temperatures of Combinatorial Games, por Elwyn Berlekamp — PDF (480 KB)

• Datos: Q60790852