Para espacios euclídeos, k = n, lo que implica que la forma cuadrática es positiva-definida.[1] Cuando 0 ≠ k ≠ n, q es una forma cuadrática isotrópica. Téngase en cuenta que si i ≤ k y j > k, entonces q(ei + ej) = 0, entonces ei + ej es un vector nulo. En un espacio pseudoeuclídeo con k ≠ n, a diferencia de lo que sucede en un espacio euclídeo, existen vectores con magnitud negativa.
La geometría de un espacio pseudoeuclídeo es consistente, a pesar de la ruptura de algunas propiedades del espacio euclídeo; más notablemente, se verifica que no es un espacio métrico como se explica a continuación. El concepto de estructura afín no cambia, y por lo tanto tampoco lo hacen los de línea recta, plano, subespacio afín y, en general, el de variedad lineal (segmentos).
Magnitud positiva, cero y negativa
Un vector nulo es un vector para el que la forma cuadrática es cero. A diferencia de lo que ocurre en un espacio euclídeo, el vector puede ser distinto de cero, en cuyo caso es ortogonal a sí mismo.
Si la forma cuadrática es indefinida, un espacio pseudoeuclídeo tiene un cono recto de vectores nulos dado por {x:q(x)=0}. Cuando el espacio pseudoeuclídeo proporciona un modelo del espacio-tiempo (véase más abajo), el cono nulo se llama cono de luz del origen.
El cono nulo separa dos conjuntos abiertos,[3] para los que q(x) > 0 y q(x) < 0. Si k ≥ 2, entonces el conjunto de vectores para los que q(x) > 0 es conexo. Si k = 1, entonces consiste en dos partes desunidas, una con x1 > 0 y otra con x1 < 0. Se pueden hacer declaraciones similares para los vectores para los que q(x) < 0 si k se reemplaza por n − k.
Intervalo
La forma cuadrática q corresponde al cuadrado de un vector en el caso euclídeo. Para definir la norma vectorial (y la distancia) de una manera invariante, se tienen que obtener las raíces cuadradas de las magnitudes, lo que conduce posiblemente a distancias imaginarias; véase
número imaginario. Pero incluso para un triángulo con magnitudes positivas de los tres lados (cuyas raíces cuadradas son reales y positivas), la desigualdad triangular no se cumple en general.
Por lo tanto, los términos norma y distancia se evitan en la geometría pseudoeuclídea, siendo reemplazados por magnitud e intervalo respectivamente.
El grupo de las rotaciones de dicho espacio es un grupo ortogonal indefinidoO(q), también denominado O(k, n − k) sin una referencia a una forma cuadrática particular.[4] Estas "rotaciones" conservan la forma q, y por lo tanto, la magnitud de cada vector, incluyendo si es positivo, cero o negativo.
Mientras que el espacio euclídeo tiene una 1-esfera, el espacio pseudoeuclídeo posee la hipersuperficie{x:q(x) = 1 } y {x:q(x) = −1}. Tal hipersuperficie, llamada cuasi esfera, es conservada por el grupo ortogonal indefinido propio.
La forma cuadrática se puede expresar en términos de la forma bilineal: .
Cuando , entonces x y y son vectores ortogonales del espacio pseudoeuclídeo.
Esta forma bilineal se suele denominar producto escalar, y algunas veces como "producto interno" o "producto puntual", pero no define un espacio prehilbertiano y no tiene las propiedades del producto escalar de los vectores euclídeos.
La base canónica del n espacio real es ortogonal. No existen bases ortonormales en un espacio pseudoeuclídeo para el que la forma bilineal es indefinida, porque no se puede usar para definir una norma vectorial.
Subespacios y ortogonalidad
Para un subespacio (positivo-dimensional)[5] U de un espacio pseudoeuclídeo, cuando la forma cuadrática q es restringida a U, son posibles los siguientes tres casos:
q|U es indefinido, pero no degenerado. Entonces, U es en sí mismo pseudoeuclídeo. Solo es posible si dimU ≥ 2; si dim U = 2, lo que significa que U es un plano, entonces se llama plano hiperbólico.
q|U está degenerado.
Una de las propiedades más desconcertantes (para una intuición euclídea) de vectores y planos pseudoeuclídeos es su ortogonalidad. Cuando dos vectores distintos de cero son ortogonales, no son colineales. Las intersecciones de cualquier subespacio vectorial euclídeo con su complemento ortogonal es el subespacio {0}. Pero la definición de la subsección anterior implica inmediatamente que cualquier vector ν de magnitud cero es ortogonal a sí mismo. Por lo tanto, la recta isotrópicaN = ⟨ ν ⟩ generada por un vector nuloν es un subconjunto de su complemento ortogonal N⊥.
La definición formal del complemento ortogonal de un subespacio vectorial en un espacio pseudoeuclídeo da un resultado perfectamente bien definido, que satisface la igualdad dim U + dim U⊥ = n debido a la no degeneración de la forma cuadrática.
La condición de que
U ∩ U⊥ = {0}, o de manera equivalente, U + U⊥, sea igual a todo el espacio
se puede incumplir si el subespacio U contiene una dirección nula.[6] Mientras el subespacio forma una rejilla, como en cualquier espacio vectorial, esta operación ⊥ no es una ortocomplementación, a diferencia de lo que sucede en los espacios con producto interno.
Para un subespacio N compuesto enteramente de vectores nulos (lo que significa que la magnitud q, restringida a N, es igual a 0), siempre se cumple que:
N ⊂ N⊥ o, equivalentemente, N ∩ N⊥ = N.
Dicho subespacio puede tener hasta min(k, n − k)dimensiones.[7]
Para un subespacio k euclídeo (positivo), su complemento ortogonal es un subespacio euclídeo negativo de dimensión (n − k), y viceversa.
Generalmente, para un subespacio U(d+ + d− + d0) dimensional que consta de d+ dimensiones positivas y de d− dimensiones negativas (véase la ley de inercia de Sylvester para más detalles), su complemento ortogonal positivo U⊥ tiene dimensión
(k − d+ − d0); el negativo es de dimensión (n − k − d− − d0), mientras que las restantes d0 dimensiones son degeneradas, estando integradas por la intersección U ∩ U⊥.
La ley del paralelogramo y el teorema de Pitágoras
Usando la identidad del cuadrado de la suma, para un triángulo arbitrario se puede expresar la magnitud del tercer lado a partir de las magnitudes de dos lados y su producto de forma bilineal:
Esto demuestra que, para los vectores ortogonales, un análogo pseudoeuclídeo del teorema de Pitágoras se expresa como:
Ángulo
En general, el valor absoluto | ⟨x, y⟩ | de la forma bilineal de dos vectores puede ser mayor que √| q(x) q(y) |, igual a este o menor. Esto causa problemas similares con la definición de ángulo, al igual de como sucede con las distancias.
Si k = 1 (solo un término positivo en q), entonces para vectores de magnitud positiva:
Corresponde a la distancia en un espacio hiperbólico(n−1)-dimensional. Este concepto se conoce como rapidez en el contexto de la teoría de la relatividad discutido más adelante. A diferencia del ángulo euclídeo, toma valores de [0, +∞) y es igual a 0 para los vectores antiparalelos.
No existe una definición razonable del ángulo entre un vector nulo y otro vector (ya sea nulo o no nulo).
Álgebra y cálculo tensorial
Al igual que los espacios euclídeos, cada espacio pseudoeuclídeo posee un álgebra geométrica. A diferencia de las propiedades anteriores, donde el reemplazo de q por −q cambia los números pero no la geometría, la inversión de signo de la forma cuadrática en realidad altera el álgebra de Clifford, por lo que, por ejemplo, Cℓ1,2(R) y Cℓ2,1(R) no son isomorfos.
Al igual que en cualquier espacio vectorial, se puede definir un cálculo tensorial pseudoeuclídeo. Al igual que con una estructura euclídea, hay operadores tensoriales, pero a diferencia del caso de los tensores euclídeos, no hay bases donde estas operaciones no cambien los valores de los componentes. Dado un vector vβ, la covariancia y contravariancia correspondientes son:
y con la forma estándar
los primeros componentes k de vα son numéricamente iguales a los de vβ, pero el resto de n−k tienen signos opuestos.
La correspondencia entre los tensores contravariantes y covariantes hace que el cálculo tensorial en una variedad pseudoriemanniana sea análogo al definido en las variedades riemannianas.
Este es el caso más simple de un espacio idefinido pseudoeuclídeo (n=2, k=1) y el único en el que el cono nulo disecciona el espacio en cuatro conjuntos abiertos. El grupo SO+(1, 1) está formada por las denominadas rotaciones hiperbólicas.
↑Los espacios euclídeos se consideran un caso especial de los espacios pseudoeuclídeos; véase, por ejemplo, Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Clifford Algebras and Spinor Structures, Springer Science & Business Media, p. 32..
↑Qué es el "grupo de rotaciones", depende de la definición exacta de rotación. Los grupos "O" contienen rotaciones impropias. Las transformaciones que preservan la orientación forman el grupo SO(q), o SO(k, n − k), pero este tampoco es conexo si tanto k como n − k son positivos. El grupo SO+(q), que preserva la orientación con las magnitudes positivas y negativas separadas, es un análogo (conexo) del grupo de rotaciones euclídeas SO(n). En efecto, todos estos grupos son grupos de Lie de dimensiones n(n − 1)/2.
↑Se asume un subespacio vectorial, pero las mismas conclusiones son ciertas para una variedad lineal afín, con la única complicación de que la forma cuadrática siempre se define mediante vectores, y no usando puntos.
↑Es decir, U ∩ U⊥ es no cero solo si la forma cuadrática q restringida a U es degenerada.
↑Nótese que cos(i arcosh s) = s, así, cuando s' >0 pueden entenderse como ángulos imaginarios.
↑Algunas representaciones bien establecidas usan k=1 e índices coordenados iniciándose desde 0 (y entonces q(x)=x02−x12−x22−x32), pero esto es equivalente a cambiar los signos signos de q.
↑B. A. Rosenfeld (1988) A History of Non-Euclidean Geometry, page 266, Studies in the history of mathematics and the physical sciences #12, Springer ISBN0-387-96458-4
Novikov, S. P.; Fomenko, A.T.; [translated from the Russian by M. Tsaplina] (1990). Basic elements of differential geometry and topology. Dordrecht; Boston: Kluwer Academic Publishers. ISBN0-7923-1009-8.