Espacio polar

Cuadrángulo generalizado con tres puntos por línea; un espacio polar de rango 2

En matemáticas, en el campo de geometría, un espacio polar[1]​ de rango n (n ≥ 3), o índice proyectivo (n − 1), consta de un conjunto P, convencionalmente llamado el conjunto de puntos, junto con ciertos subconjuntos de P, llamados subespacios, que satisfacen estos axiomas:

• Cada subespacio es isomorfo a un espacio proyectivo P^d(K) con −1 ≤ d ≤ (n − 1) y K un anillo de división (es decir, es una geometría proyectiva desarguesiana). Para cada subespacio, la d correspondiente se denomina dimensión.
• La intersección de dos subespacios es siempre un subespacio.
• Para cada subespacio A de dimensión (n − 1) y cada punto p que no está en A, existe un subespacio único B de dimensión (n − 1) que contiene p y es tal que A ∩ B tiene dimensión (n − 2). Los puntos en A ∩ B son exactamente los puntos de A que están en un subespacio común de dimensión 1 con p.
• Hay al menos dos subespacios disjuntos de dimensión (n − 1).

Es posible definir y estudiar una clase de objetos un poco más grande usando solo relaciones entre puntos y líneas: un espacio polar es un espacio lineal parcial (P,L), de modo que para cada punto p ∈ P y cada línea l ∈ L, el conjunto de puntos de l colineales a p, solo tiene un elemento o es la totalidad de l.

Los espacios polares finitos (donde P es un conjunto finito) también se estudian como objetos combinatorios.

Cuadrángulos generalizados

Un espacio polar de rango dos es un cuadrángulo generalizado; en este caso, en la última definición, el conjunto de puntos de una recta ${\displaystyle l}$ colineal con un punto p es el conjunto completo de ${\displaystyle l}$ solo si p ∈ ${\displaystyle l}$. Se recupera la primera definición de la última bajo el supuesto de que las líneas tienen más de 2 puntos, los puntos se encuentran en más de 2 líneas y existen una línea ${\displaystyle l}$ y un punto p que no está en ${\displaystyle l}$, de modo que p es colineal con todos los puntos de ${\displaystyle l}$.

Espacios polares clásicos finitos

Sea ${\displaystyle PG(n,q)}$ el espacio proyectivo de dimensión ${\displaystyle n}$ sobre el campo finito ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ y sea ${\displaystyle f}$ una forma sesquilineal reflexiva o una forma cuadrática en el espacio vectorial subyacente. Los elementos del espacio polar clásico finito asociados a esta forma son los elementos de los subespacios totalmente isótropos (cuando ${\displaystyle f}$ es una forma sesquilineal) o los subespacios totalmente singulares (cuando ${\displaystyle f}$ es una forma cuadrática) de ${\displaystyle PG(n,q)}$ con respecto a ${\displaystyle f}$. El índice de Witt de la forma es igual a la dimensión del espacio vectorial más grande del subespacio contenido en el espacio polar, y se llama rango del espacio polar. Estos espacios polares clásicos finitos se pueden resumir en la siguiente tabla, donde ${\displaystyle n}$ es la dimensión del espacio proyectivo subyacente y ${\displaystyle r}$ es el rango del espacio polar. El número de puntos en un ${\displaystyle PG(k,q)}$ se denota por ${\displaystyle \theta _{k}(q)}$ y es igual a ${\displaystyle q^{k}+q^{k-1}+\cdots +1}$. Cuando ${\displaystyle r}$ es igual a ${\displaystyle 2}$, se obtiene un cuadrángulo generalizado.

Forma	${\displaystyle n+1}$	Nombre	Notación	Número de puntos	Grupo de colineación
Alternado	${\displaystyle 2r}$	Simpléctico	${\displaystyle W(2r-1,q)}$	${\displaystyle (q^{r}+1)\theta _{r-1}(q)}$	${\displaystyle \mathrm {P\Gamma Sp} (2r,q)}$
Hermítico	${\displaystyle 2r}$	Hermítico	${\displaystyle H(2r-1,q)}$	${\displaystyle (q^{r-1/2}+1)\theta _{r-1}(q)}$	${\displaystyle \mathrm {P\Gamma U(2r,q)} }$
Hermítico	${\displaystyle 2r+1}$	Hermítico	${\displaystyle H(2r,q)}$	${\displaystyle (q^{r+1/2}+1)\theta _{r-1}(q)}$	${\displaystyle \mathrm {P\Gamma U(2r+1,q)} }$
Cuadrático	${\displaystyle 2r}$	Hiperbólico	${\displaystyle Q^{+}(2r-1,q)}$	${\displaystyle (q^{r-1}+1)\theta _{r-1}(q)}$	${\displaystyle \mathrm {P\Gamma O^{+}} (2r,q)}$
Cuadrático	${\displaystyle 2r+1}$	Parabólico	${\displaystyle Q(2r,q)}$	${\displaystyle (q^{r}+1)\theta _{r-1}(q)}$	${\displaystyle \mathrm {P\Gamma O} (2r+1,q)}$
Cuadrático	${\displaystyle 2r+2}$	Elíptico	${\displaystyle Q^{-}(2r+1,q)}$	${\displaystyle (q^{r+1}+1)\theta _{r-1}(q)}$	${\displaystyle \mathrm {P\Gamma O^{-}} (2r+2,q)}$

Clasificación

Jacques Tits demostró que un espacio polar finito de rango al menos tres es siempre isomorfo con uno de los tres tipos de espacios polares clásicos indicados anteriormente. Esto deja abierto solo el problema de clasificar los cuadrángulos finitos generalizados.[2]​

Referencias

1. Bart De Bruyn (2016). An Introduction to Incidence Geometry. Birkhäuser. pp. 23 de 372. ISBN 9783319438115. Consultado el 13 de octubre de 2023. 
2. Tits Buildings and the Model Theory of Groups. Cambridge University Press. 2002. p. 87. ISBN 9780521010634. Consultado el 13 de octubre de 2023. 

Bibliografía

• Ball, Simeon (2015), Finite Geometry and Combinatorial Applications, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, ISBN 978-1107518438 ..

• Buekenhout, Francis (2000), Prehistory and History of Polar Spaces and of Generalized Polygons .
• Buekenhout, Francis; Cohen, Arjeh M. (2013), Diagram Geometry (Related to classical groups and buildings), A Series of Modern Surveys in Mathematics, part 3 57, Heidelberg: Springer, MR 3014979 .
• Cameron, Peter J. (2015), Projective and polar spaces, QMW Maths Notes 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019 .

• Datos: Q3058226