Espacio cociente (álgebra lineal) En álgebra lineal, el espacio vectorial cociente E/F de un espacio vectorial E por un subespacio vectorial F, es la estructura natural de espacio vectorial sobre el conjunto cociente de E por la siguiente relación de equivalencia: v está relacionado con w si y solo si v-w pertenece a F.
Definición
Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea F un subespacio vectorial de E, podemos definir la siguiente relación de equivalencia entre los elementos de E:
Dados diremos que están relacionados módulo si .
La relación anterior es una relación de equivalencia
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Se considera la relación y se comprueban:
- Propiedad reflexiva:
- Dado un elemento se tiene que
- Propiedad de simetría:
- Dados dos elementos se tiene que si entonces es decir
- Propiedad transitiva:
- Dados tres elementos se tiene que si y entonces es decir
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Observación: equivale a , es decir, y abusando del lenguaje
- Se nota por a la clase de módulo .
Llamaremos espacio cociente al conjunto de todos los elementos que cumplen las clases de equivalencia anterior:
- Se nota por a dicho espacio cociente.
El espacio es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:
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La suma y multiplicación están definidas por ser un subespacio vectorial:
-
- Existencia del elemento neutro:
- Existencia del elemento opuesto:
-
-
- Propiedad del elemento neutro de K:
- Propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:
-
- Propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:
-
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Observaciones
- Si , por constituir una partición de
- Si
- Si ,
- Los elementos de no son un espacio vectorial en pues no tiene el elemento neutro
- Esta estructura vectorial es la única en el cociente que hace a la proyección canónica lineal.
Dimensión del espacio cociente
Dado un espacio vectorial y un subespacio, si la dimensión de E es finita entonces:
- es de dimensión finita
- .
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Sean , y una base de Se puede completar la base hasta obtener una de , .
- .
Tomando clases, , pues (ya que ). Luego, se tiene que generan
Para ver que son linealmente independientes, supóngase que:
- ,
entonces, pertenece a , en consecuencia, existen tales que .
Por la independencia lineal de , se sigue que .
Por lo tanto, son una base de y
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Ejemplo
Sea un subespacio vectorial de generado por un vector , , si se considera el espacio cociente la clase de un vector será:
- , siendo su espacio cociente , es decir todas las rectas paralelas al subespacio F.
Véase también
Referencias
Bibliografía
- Manuel Castellet, Irene Llerena, Álgebra lineal y geometría, Editorial reverté, S.A., 2000.
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