Gamma Parámetros
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
forma (real )
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
escala (real ) Dominio
x
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle x\in (0,\infty )}
Función de densidad (pdf)
λ
(
λ
x
)
α
−
1
e
−
λ
x
Γ
(
α
)
{\displaystyle {\frac {\lambda (\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}{\Gamma (\alpha )}}}
Función de distribución (cdf)
1
Γ
(
α
)
γ
(
α
,
λ
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\;\gamma (\alpha ,\lambda x)}
Media
α
λ
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\lambda }}}
Moda
α
−
1
λ
por
α
≥
1
{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\lambda }}{\text{ por }}\alpha \geq 1}
,
0
por
α
<
1
{\displaystyle 0{\text{ por }}\alpha <1}
Varianza
α
λ
2
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}}
Entropía
α
−
ln
λ
+
ln
Γ
(
α
)
+
(
1
−
α
)
ψ
(
α
)
{\displaystyle \alpha -\ln \lambda +\ln \Gamma (\alpha )+(1-\alpha )\psi (\alpha )}
Función generadora de momentos (mgf)
(
λ
λ
−
t
)
α
t
<
λ
{\displaystyle \left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{\alpha }\quad t<\lambda }
Función característica
(
λ
λ
−
i
t
)
α
{\displaystyle \left({\frac {\lambda }{\lambda -it}}\right)^{\alpha }}
Función de Densidad de una Gama.
En teoría de probabilidad y Estadística , la distribución gamma es una distribución con dos parámetros que pertenece a las distribuciones de probabilidad continuas. La distribución exponencial , distribución de Erlang y la distribución χ² son casos particulares de la distribución gamma. Hay dos diferentes parametrizaciones que suelen usarse
Con parámetro de forma
k
{\displaystyle k}
y parámetro de escala
θ
{\displaystyle \theta }
.
Con parámetro de forma
α
=
k
{\displaystyle \alpha =k}
y parámetro inverso de escala
λ
=
1
/
θ
{\displaystyle \lambda =1/\theta }
.
Definición
Notación
Si una variable aleatoria continua
X
{\displaystyle X}
tiene distribución gamma con parámetros
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
y
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
entonces escribiremos
X
∼
Γ
(
α
,
λ
)
{\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}
.
Función de Densidad
Si
X
∼
Γ
(
α
,
λ
)
{\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}
entonces su función de densidad es
f
X
(
x
)
=
λ
Γ
(
α
)
(
λ
x
)
α
−
1
e
−
λ
x
{\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}
para
x
>
0
{\displaystyle x>0}
donde
Γ
(
α
)
=
∫
0
∞
t
α
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}dt}
es la función gamma y satisface
Γ
(
2
)
=
Γ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \Gamma (2)=\Gamma (1)=1}
Para cualquier
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
se cumple que
Γ
(
α
+
1
)
=
α
Γ
(
α
)
{\displaystyle \Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )}
Si
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
entonces
Γ
(
n
+
1
)
=
n
!
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}
Γ
(
1
2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
Si
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
entonces
Γ
(
n
2
)
=
π
(
n
−
1
)
!
2
n
−
1
(
n
−
1
2
)
!
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)={\frac {{\sqrt {\pi }}(n-1)!}{2^{n-1}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}}
Función de Densidad Acumulada
La función de distribución acumulada de una variable aleatoria
X
∼
Γ
(
α
,
λ
)
{\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}
está dada por
F
X
(
x
)
=
∫
0
x
λ
Γ
(
α
)
(
λ
y
)
α
−
1
e
−
λ
y
d
y
{\displaystyle F_{X}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda y)^{\alpha -1}e^{-\lambda y}\;dy}
Si
X
{\displaystyle X}
es una variable aleatoria tal que
X
∼
Γ
(
n
,
λ
)
{\displaystyle X\sim \Gamma (n,\lambda )}
donde
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
(es decir,
X
{\displaystyle X}
tiene una distribución de Erlang ) entonces su función de distribución acumulada está dada por
F
X
(
x
)
=
1
−
∑
k
=
0
n
−
1
(
λ
x
)
k
k
!
e
−
λ
x
=
∑
k
=
n
∞
(
λ
x
)
k
k
!
e
−
λ
x
{\displaystyle {\begin{aligned}F_{X}(x)&=1-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(\lambda x)^{k}}{k!}}e^{-\lambda x}\\&=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {(\lambda x)^{k}}{k!}}e^{-\lambda x}\end{aligned}}}
Propiedades
Si
X
{\displaystyle X}
es una variable aleatoria tal que
X
∼
Γ
(
α
,
λ
)
{\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}
entonces
X
{\displaystyle X}
satisface algunas propiedades.
La media de la variable aleatoria
X
{\displaystyle X}
es:
E
[
X
]
=
α
/
λ
{\displaystyle {\text{E}}[X]=\alpha /\lambda }
Varianza
La varianza de la variable aleatoria
X
{\displaystyle X}
es
Var
[
X
]
=
α
λ
2
{\displaystyle {\text{Var}}[X]={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}}
Momentos
El
n
{\displaystyle n}
-ésimo momento de la variable aleatoria
X
{\displaystyle X}
es
E
[
X
n
]
=
α
(
α
+
1
)
⋯
(
α
+
n
−
1
)
λ
n
{\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]={\frac {\alpha (\alpha +1)\cdots (\alpha +n-1)}{\lambda ^{n}}}}
para
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
.
Función generadora de momentos
La función generadora de momentos está dada por
M
X
(
t
)
=
(
λ
λ
−
t
)
α
{\displaystyle M_{X}(t)=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{\alpha }}
para
λ
>
t
{\displaystyle \lambda >t}
.
Suma de Gammas
Si
X
i
∼
Γ
(
α
i
,
λ
)
{\displaystyle X_{i}\sim \Gamma (\alpha _{i},\lambda )}
para
i
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,2,\dots ,n}
son variables aleatorias independientes entonces
∑
i
=
1
n
X
i
∼
Γ
(
∑
i
=
1
n
α
i
,
λ
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i},\lambda \right)}
Escalar
Si
X
∼
Γ
(
α
,
λ
)
{\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}
entonces para cualquier
c
>
0
{\displaystyle c>0}
c
X
∼
Γ
(
α
,
λ
/
c
)
{\displaystyle cX\sim \Gamma \left(\alpha ,\lambda /c\right)}
Puede demostrarse que
E
[
ln
(
X
)
]
=
ψ
(
α
)
−
ln
(
λ
)
{\displaystyle \operatorname {E} [\ln(X)]=\psi (\alpha )-\ln(\lambda )}
donde
ψ
{\displaystyle \psi }
es la función digamma .
Cálculo de Probabilidades en R
Se puede utilizar R (lenguaje de programación) para hallar los valores de la función de densidad
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
y la función de distribución
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
de una variable aleatoria continua
X
∼
Γ
(
α
,
λ
)
{\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}
.
Función de densidad
Para
x
>
0
{\displaystyle x>0}
, la función de densidad de la distribución Gamma está dada por
f
X
(
x
)
=
λ
Γ
(
α
)
(
λ
x
)
α
−
1
e
−
λ
x
{\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}
entonces para evaluar la función de densidad
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)}
utilizamos el siguiente código
# d=density function
dgamma ( x , α, λ)
Función de Distribución
La función de distribución acumulada de la distribución Gamma está dada por
F
X
(
x
)
=
∫
0
x
λ
Γ
(
α
)
(
λ
y
)
α
−
1
e
−
λ
y
d
y
{\displaystyle F_{X}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda y)^{\alpha -1}e^{-\lambda y}\;dy}
para
x
>
0
{\displaystyle x>0}
, se puede utilizar el siguiente código para evaluar al función de distribución acumulada
F
X
(
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)}
# p=probability distribution function
pgamma ( x , α, λ)
Distribuciones Relacionadas
Si
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}
son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tales que
X
i
∼
Exp
(
λ
)
{\displaystyle X_{i}\sim {\text{Exp}}(\lambda )}
entonces
∑
i
=
1
n
X
i
∼
Γ
(
n
,
λ
)
{\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(n,\lambda \right)}
, a esta distribución se le conoce como distribución de Erlang y es un caso particular de la distribución gama cuando el parámetro
α
=
n
∈
N
{\displaystyle \alpha =n\in \mathbb {N} }
.
Si
X
∼
Γ
(
1
,
λ
)
{\displaystyle X\sim \Gamma \left(1,\lambda \right)}
entonces
X
∼
Exp
(
λ
)
{\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(\lambda )}
.
Si
X
∼
Γ
(
n
2
,
1
2
)
{\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}
con
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
entonces
X
∼
χ
n
2
{\displaystyle X\sim \chi _{n}^{2}}
.
Véase también
Enlaces externos