Las coordenadas baricéntricas permiten parametrizar mediante n+1 números reales en el intervalo [0,1] el interior de un n-simplex. En realidad, de las n+1 coordenadas baricéntricas solo n son independientes, ya que la suma de todas es igual a uno.
Triángulo
Como ejemplo introductorio se considera un triángulo en el plano euclídeo de vértices , y , entonces cualquier punto del interior del triángulo puede ser representado por tres coordenadas baricéntricas tales que:
Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:
Ahora ya se pueden introducir las coordenadas baricéntricas de la Enciclopedia de los Centros del Triángulo de Clark Kimberling. Dicha web cuenta con miles de centros con coordenadas baricéntricas y trilineales. Normalmente solo aparece la 1ª (alfa), pero al ser homogéneas se pueden deducir las otras 2 permutando las letras de la 1ª, por ejemplo, el punto P = : : , corresponde a las coordenadas , , . . Es decir, solo hay 3 letras: a,b,c ya que el triángulo solo tiene 3 lados, y cada letra corresponde a la longitud de un lado. Si empieza en la a, la siguiente es la b, y la última la c. Si comienza en la b, la siguiente es la c y la siguiente, como no hay d, recomienza en la a. Si comienza en la c, al ser una triada cíclica, la siguiente es la a y después la b.
Si el punto o centro Kimberling viniera en coordenadas trilineales, basta convertirlas a baricéntricas multiplicando cada una por una letra distinta: a,b,c. Ejemplo: , , .
En concreto el lado se caracteriza por tener , el lado tiene , y el lado . El baricentro coincidirá con el punto . El triángulo estará formado por todos los puntos del conjunto T:
El lado a (opuesto al vértice A) será el conjunto de puntos:
y análogamente los lados b y c por lo que la frontera del triángulo estará formada por los puntos tales que alguna de sus coordenadas baricéntricas sea cero. Y los vértices satisfacen que una de sus coordenadas baricéntricas es uno y las otras son nulas.
Tetraedro
La construcción anterior puede ampliarse a un tetraedro, no necesariamente regular, en el espacio euclídeo . Si los vértices del tetraedro en cuestión son , , y , entonces cualquier punto del interior del tetraedro puede ser representado por cuatro coordenadas baricéntricas tales que:
Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por:
El baricentro coincidirá con el punto . Dado un punto P si ninguna de las coordenadas baricéntricas es cero el punto será un interior, si solo una de ellas es cero será un punto interior a una de las caras del tetraedro, si dos y solo dos de las coordenadas baricéntricas son cero el punto será el interior de una arista y si tres de las coordenadas baricéntricas son cero (y por tanto la otra igual a 1) el punto será un vértice.
n-simplex
Dado un n-simplex (o simplex) en el espacio euclídeo , se pueden definir las coordenadas baricéntricas generalizadas. Si los n+1 vértices del n-simplex son:
entonces cualquier punto del interior del simplex puede ser representado por n+1 coordenadas baricéntricas tales que:
Donde la relación entre las coordenadas cartesianas y las baricéntricas viene dada por: