Argumento de Penrose-Lucas

El argumento de Penrose-Lucas es un argumento lógico parcialmente basado en una teoría desarrollada por el matemático y lógico Kurt Gödel. En 1931, demostró que toda teoría generada de manera efectiva capaz de probar aritmética básica o bien no es consistente o bien no es completa. Debido a la capacidad humana de ver la verdad de las oraciones de Gödel de un sistema formal, se argumenta que la mente humana no puede ser el resultado de un algoritmo generado por una Máquina de Turing ya que esta última no puede determinar la verdad de su oración de Gödel, mientras que la mente humana puede. El matemático Roger Penrose modificó el argumento en su primer libro sobre la consciencia: The Emperor's New Mind (1989), donde lo utilizó para sentar las bases de su teoría de la consciencia: la reducción objetiva orquestada.

Trasfondo

Gödel demostró que cualquier teoría lógica que incluya una declaración de su propia consistencia es inconsistente. Para probarlo, él recurrió a la numeración de Gödel para construir una "oración de Gödel", la cual codifica una declaración de su propia incompletud: "Esta teoría no puede probar esta declaración"; o "No soy demostrable en este sistema". O bien este enunciado y su negación son ambos improbables (la teoría es incompleta) o bien ambos son demostrables (la teoría es inconsistente). En la primera eventualidad el enunciado es intuitivamente verdadero[1]​ (ya que no es demostrable); de lo contrario, la declaración es intuitivamente falsa, aunque demostrable.

Se ha utilizado una declaración análoga para mostrar que los humanos están sujetos a los mismos límites que las máquinas: "Lucas no puede afirmar esta fórmula de manera consistente". En defensa de Lucas, JE Martin y KH Engleman argumentaron en The Mind's I Has Two Eyes [2]​ que Lucas puede reconocer que la oración es verdadera, ya que hay un punto de vista desde el cual puede entender cómo la oración lo engaña.[3]​ Desde este punto de vista, Lucas puede apreciar que no puede afirmar la oración y, en consecuencia, puede reconocer su verdad.[4]​ Aun así, esta crítica solo funciona si asumimos que podemos reemplazar el razonamiento de Lucas con un sistema formal cuyos teoremas puedan ser enumerados por un algoritmo que tiene una oración de Gödel, mas el argumento de Penrose-Lucas intenta demostrar lo contrario: nuestra capacidad para comprender este nivel de aritmética no es describible con un procedimiento efectivo que pueda ser simulado en una máquina de Turing.

Penrose argumentó que si bien un sistema formal no puede demostrar su propia consistencia, los matemáticos humanos pueden intuir la verdad de los resultados no demostrables de Gödel.[5]​ Él considera que esta disparidad significa que los matemáticos humanos no se pueden describir como sistemas formales (cuyos teoremas se pueden demostrar usando un objeto abstracto como una computadora) y, por lo tanto, ejecutan un algoritmo no computable. Afirmaciones similares sobre las implicaciones del teorema de Gödel fueron adoptadas originalmente por Turing a fines de la década de 1940, por el propio Gödel en su conferencia Gibbs de 1951, por E. Nagel y JR Newman en 1958,[6]​ y posteriormente fueron popularizadas por el filósofo John Lucas en Merton College, Oxford en 1961.[7]​

La conclusión ineludible parece ser: los matemáticos no están utilizando un procedimiento de cálculo conocido para determinar la verdad matemática. Deducimos entonces que la comprensión matemática, el medio por el cual los matemáticos llegan a sus conclusiones, ¡no puede reducirse a un cálculo inconsciente!

-Roger Penrose[8]​

Consecuencias

De ser correcto, el argumento de Penrose-Lucas crea la necesidad de comprender la base física del comportamiento no computable en el cerebro humano.[9]​ La mayoría de las leyes físicas son computables y, por lo tanto, algorítmicas. Sin embargo, Penrose determinó que el colapso de la función de onda era el mejor candidato para un proceso no computable.

En la mecánica cuántica, las partículas son tratadas de manera diferente a los objetos de la mecánica clásica . Las partículas se describen mediante funciones de onda que evolucionan según la ecuación de Schrödinger . Las funciones de onda no estacionarias son combinaciones lineales de los estados propios del sistema, un fenómeno descrito por el principio de superposición . Cuando un sistema cuántico interactúa con un sistema clásico, es decir, cuando se realiza una observación, el sistema parece colapsar en un estado presumiblemente probabilístico.

Si el colapso es verdaderamente aleatorio, entonces ningún proceso o algoritmo puede predecir de manera determinista su resultado. Esto proporcionó a Penrose un candidato para la base física del proceso no computable que, según su hipótesis, existía en el cerebro. Sin embargo, no le gustaba la naturaleza aleatoria del colapso inducido por el medio ambiente, ya que la aleatoriedad no era una base prometedora para la comprensión matemática. Penrose propuso que los sistemas aislados aún pueden sufrir una nueva forma de colapso de la función de onda, a la que llamó reducción objetiva (OR).[10]​

Penrose buscó reconciliar la relatividad general y la teoría cuántica utilizando sus propias ideas sobre la posible estructura del espacio-tiempo.[5]​[11]​ Sugirió entonces que en la escala de Planck el espacio-tiempo curvo no es continuo, sino discreto. Penrose postuló que cada superposición cuántica separada tiene su propia pieza de curvatura del espacio-tiempo, una ampolla en el espacio-tiempo. Penrose sugiere que la gravedad ejerce una fuerza sobre estas ampollas de espacio-tiempo, que se vuelven inestables por encima de la escala de Planck de ${\displaystyle 10^{-35}{\text{m}}}$ y colapsar a sólo uno de los estados posibles. El umbral aproximado para OR está dado por el principio de indeterminación de Penrose:

${\displaystyle \tau \approx \hbar /E_{G}}$

donde:

• ${\displaystyle \tau }$ es el tiempo hasta que ocurre OR,
• ${\displaystyle E_{G}}$ es la autoenergía gravitacional o el grado de separación del espacio-tiempo dado por la masa superpuesta, y
• ${\displaystyle \hbar }$ es la constante de Planck reducida.

De este modo, cuanto mayor sea la energía del objeto, más rápido sufrirá OR y viceversa. Las superposiciones a nivel atómico requerirían alrededor de 10 millones de años para alcanzar el umbral OR, mientras que un objeto aislado de 1 kilogramo alcanzaría el umbral OR en 10 ^−37 s. Los objetos en algún lugar entre estas dos escalas podrían colapsar en una escala de tiempo relevante para el procesamiento neuronal.[10]​[12]​

Una característica esencial de la teoría de Penrose es que la elección de los estados cuánticos cuando se produce la reducción objetiva no se seleccionaría al azar (como se hace después del colapso de la función de onda ) ni algorítmicamente. Más bien, los estados son seleccionados por una influencia "no computable" incrustada en la escala de Planck de la geometría del espacio-tiempo. Penrose afirmó que dicha información es platónica, representando pura verdad matemática absoluta en la escala de Planck.[10]​[13]​

Críticas

El argumento de Penrose-Lucas sobre las implicaciones del teorema de incompletitud de Gödel para las teorías computacionales de la inteligencia humana ha sido criticado por matemáticos,[14]​[15]​[16]​[17]​ informáticos,[18]​ y filósofos,[19]​[20]​[21]​[22]​[23]​ siendo el consenso entre los expertos[6]​ el de que el argumento no es completamente correcto de manera satisfactoria,[24]​[25]​[26]​ con diferentes autores atacando distintos aspectos de este.[26]​[27]​

LaForte señaló que para saber la verdad de una oración de Gödel indemostrable, uno debe saber que el sistema formal es consistente (aunque este no fue el punto que Lucas trató de señalar); haciendo referencia a Benacerraf, trató de demostrar que los humanos no pueden probar que son consistentes,[14]​ y con toda probabilidad los cerebros humanos son algoritmos inconsistentes que usan algún tipo de lógica paraconsistente, señalando supuestas contradicciones dentro de los propios escritos de Penrose como ejemplos. De manera similar, Minsky argumentó que debido a que los humanos pueden creer ideas falsas como verdaderas, la comprensión matemática humana no necesita ser consistente y la consciencia podría tener una base determinista.[28]​ Penrose argumentó contra Minsky afirmando que los errores que cometen los matemáticos humanos son irrelevantes ya que son corregibles, mientras que las verdades lógicas son "verdades inexpugnables" para las personas.[29]​ Los errores no implican directamente que la mente humana sea inconsistente per se: los organismos biológicos están sujetos a perturbaciones cognitivas, una memoria a largo plazo reducida y a cambios de atención; estos reducen nuestra capacidad de razonamiento y hacen que los humanos actuemos inconscientemente sin tener en cuenta todas las variables de un sistema. Por lo tanto, se sostiene una disyunción: o bien la mente humana no es una computación de una Máquina de Turing; o bien es producto de una Máquina de Turing inconsistente que podría estar razonando usando algún tipo de lógica paraconsistente.

Véase también

• Reducción objetiva orquestada
• Teoremas de incompletitud de Gödel
• Verdad lógica

Referencias

1. Gödel's theorem deals with a formal system, in which a syntax is defined (i.e., one can talk of provability) but a semantic is not necessarily defined (there is no implicit notion of "truth"). However, Gödel's statement is actually true in the standard model of natural numbers. See Mendelson, Elliot (2009). Introduction to Mathematical Logic (hardcover). Discrete Mathematics and Its Applications (5th edición). Boca Raton: Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-876-5. 
2. Martin, J. E.; Engleman, K. H. (1990). «The Mind's I Has Two Eyes». Philosophy 65 (254): 510-515. ISSN 0031-8191. 
3. Hofstadter, 1979, pp. 476–477,Russell y Norvig, 2003, p. 950,Turing, 1950 under "The Argument from Mathematics" where he writes "although it is established that there are limitations to the powers of any particular machine, it has only been stated, without sort of proof, that no such limitations apply to the human intellect."
4. «Details view: Lucas tricks machines into contradicting themselves». debategraph.org. Consultado el 14 de junio de 2023. 
5. Penrose, Roger (1989). The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds and The Laws of Physics. Oxford University Press. p. 480. ISBN 978-0-19-851973-7. 
6. «Gödel's Incompleteness Theorems». The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. 2022. 
7. Lucas, John R. (1961). «Minds, Machines and Godel». Philosophy 36 (April–July): 112-127. doi:10.1017/s0031819100057983. 
8. Roger Penrose. Mathematical intelligence. In Jean Khalfa, editor, What is Intelligence?, chapter 5, pages 107–136. Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 1994.
9. «Lucas-Penrose Argument about Gödel's Theorem | Internet Encyclopedia of Philosophy». 
10. Hameroff, Stuart; Penrose, Roger (March 2014). «Consciousness in the universe: A review of the 'Orch OR' theory». Physics of Life Reviews (Elsevier) 11 (1): 39-78. Bibcode:2014PhLRv..11...39H. PMID 24070914. doi:10.1016/j.plrev.2013.08.002. 
11. Penrose, Roger (1989). Shadows of the Mind: A Search for the Missing Science of Consciousness. Oxford University Press. p. 457. ISBN 978-0-19-853978-0. 
12. «Physicists place fresh limits on gravity's role in wavefunction collapse». 10 de octubre de 2020. 
13. «Kant's Views on Space and Time». The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. 2022. 
14. LaForte, Geoffrey, Patrick J. Hayes, and Kenneth M. Ford 1998.Why Gödel's Theorem Cannot Refute Computationalism. Artificial Intelligence, 104:265–286.
15. Feferman, Solomon (1996). «Penrose's Gödelian argument». Psyche (consciousness journal)|Psyche 2: 21-32. 
16. Krajewski, Stanislaw 2007. On Gödel's Theorem and Mechanism: Inconsistency or Unsoundness is Unavoidable in any Attempt to 'Out-Gödel' the Mechanist. Fundamenta Informaticae 81, 173–181. Reprinted in Topics in Logic, Philosophy and Foundations of Mathematics and Computer Science:In Recognition of Professor Andrzej Grzegorczyk (2008), p. 173
17. P. Pudlak, A note on applicability of the incompleteness theorem to human mind, Annals of Pure and Applied Logic, 96 (1999), 335-342 doi://10.1016/S0168-0072(98)00044-X
18. Putnam, Hilary 1995. Review of Shadows of the Mind. In Bulletin of the American Mathematical Society 32, 370–373 (also see Putnam's less technical criticisms in his New York Times review)
19. «MindPapers: 6.1b. Godelian arguments». Consc.net. Consultado el 28 de julio de 2014. 
20. «References for Criticisms of the Gödelian Argument». Users.ox.ac.uk. 10 de julio de 1999. Archivado desde el original el 17 de septiembre de 2020. Consultado el 7 de julio de 2021. 
21. Boolos, George, et al. 1990. An Open Peer Commentary on The Emperor's New Mind. Behavioral and Brain Sciences 13 (4) 655.
22. Davis, Martin 1993. How subtle is Gödel's theorem? More on Roger Penrose. Behavioral and Brain Sciences, 16, 611–612. Online version at Davis' faculty page at http://cs.nyu.edu/cs/faculty/davism/
23. Lewis, David K. 1969.Lucas against mechanism. Philosophy 44 231–233.
24. Bringsjord, S. and Xiao, H. 2000. A Refutation of Penrose's Gödelian Case Against Artificial Intelligence. Journal of Experimental and Theoretical Artificial Intelligence 12: 307–329. The authors write that it is "generally agreed" that Penrose "failed to destroy the computational conception of mind."
25. In an article at «Penrose's Philosophical Error». Archivado desde el original el 25 de enero de 2001. Consultado el 22 de octubre de 2010.  L.J. Landau at the Mathematics Department of King's College London writes that "Penrose's argument, its basis and implications, is rejected by experts in the fields which it touches."
26. Princeton Philosophy professor John Burgess writes in On the Outside Looking In: A Caution about Conservativeness (published in Kurt Gödel: Essays for his Centennial, with the following comments found on pp. 131–132) that "the consensus view of logicians today seems to be that the Lucas–Penrose argument is fallacious, though as I have said elsewhere, there is at least this much to be said for Lucas and Penrose, that logicians are not unanimously agreed as to where precisely the fallacy in their argument lies. There are at least three points at which the argument may be attacked."
27. Dershowitz, Nachum 2005. The Four Sons of Penrose, in Proceedings of the Eleventh Conference on Logic for Programming, Artificial Intelligence, and Reasoning (LPAR; Jamaica), G. Sutcliffe and A. Voronkov, eds., Lecture Notes in Computer Science, vol. 3835, Springer-Verlag, Berlin, pp. 125–138.
28. Marvin Minsky. "Conscious Machines." Machinery of Consciousness, Proceedings, National Research Council of Canada, 75th Anniversary Symposium on Science in Society, June 1991.
29. «Lucas-Penrose Argument about Gödel's Theorem». Internet Encyclopedia of Philosophy (en inglés estadounidense). Consultado el 11 de junio de 2023. 

• Datos: Q60740314