Función arcoseno |
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Definición |
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Tipo |
Trigonométrica inversa |
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Dominio |
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Codominio |
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Imagen |
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Propiedades |
Estrictamente creciente Biyectiva en su dominio |
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Cálculo infinitesimal |
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Derivada |
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Función inversa |
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Funciones relacionadas |
arcocoseno arcotangente |
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En trigonometría, el arcoseno está definido como la función inversa del seno de un ángulo. Desde un punto de vista geométrico, el arcoseno de un número , denotado corresponde al arco cuyo seno es .
La función seno no es biyectiva, por lo que no tiene función inversa definida en todo su dominio. Al restringir su dominio en se obtiene una función inyectiva y por tanto con función inversa.
Propiedades
- Es una función inyectiva, estrictamente creciente.
- Como arcsen(-x) = -arcsenx, su gráfica es simétrica respecto al origen (0: 0)
- Su valor mínimo = -0.5π; su valor máximo = 0.5π.
- El origen de coordenadas es punto de inflexión con un ángulo de inclinación de 45°[1]
- Es una función continua en todo su dominio.
- El cero de la función es 0. La gráfica corta al eje x en (0; 0)
- Es una función diferenciable, además analítica lo que permite un desarrollo en serie de potencias[2]
Serie de potencias
El desarrollo en serie de potencias del arcoseno viene dado por:
Nótese que este desarrollo solo es válido cuando se expresa el ángulo en radianes. A continuación se da una pequeña demostración de tal desarrollo.
Demostración
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Aplicando el desarrollo en serie de Taylor es sencillo demostrar el siguiente desarrollo:
Efectuando el cambio t=s² se obtiene este desarrollo:
Dado que:
Integrando término a término la segunda serie se obtiene el desarrollo en serie del arcoseno:
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Extensión a la recta real y los números complejos
Como función analítica el arcoseno puede extenderse a valores fuera del dominio [-1,1] e incluso complejos. Para valores reales del argumento por encima de +1, la función toma valores complejos:
Para valores menores que -1, se tiene en cuenta que:
Eso completa la extensión a los números reales, aunque fuera del intervalo [-1,+1] los valores de la función son complejos.
Aplicaciones
En un triángulo rectángulo, el arcoseno equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto opuesto y la hipotenusa.
Véase también
Referencias y notas
- ↑ Bronshtein- Semendiaev: Manual de matemáticas Editorial Mir, Moscú, 2º edición
- ↑ Conceptos que figuran en un libro de análisis matemático y aplicable a esta función
Enlaces externos