Zentralschnitt-Theorem

Das Zentralschnitt-Theorem (auch Fourier-Schnitt-Theorem) ist ein Theorem aus dem Bereich der Signaltheorie. Es besagt, dass die Projektion einer Funktion ${\displaystyle f(x,y)}$ in der Richtung ${\displaystyle \Theta }$ die eindimensionale Fourier-Transformation des Schnitts durch ${\displaystyle F(u,v)}$ in der Richtung ${\displaystyle \Theta }$ ist, wobei ${\displaystyle u}$ bzw. ${\displaystyle v}$ die mit ${\displaystyle x}$ bzw. ${\displaystyle y}$ korrespondierenden Raumfrequenzen sind. Der Schnitt geht dabei stets durch den Ursprung im Fourier-Raum (${\displaystyle u=v=0}$).[1]

Das Theorem geht auf den australischen Physiker Ronald Bracewell zurück, der es im Jahr 1956 zunächst im Bereich der Radioastronomie angewandt hatte.[2]

Beweis

Veranschaulichung des Zentralschnitt-Theorems

Es soll gezeigt werden, dass der Schnitt ${\displaystyle F(u,0)}$ entlang der ${\displaystyle u}$-Achse (im Fourier-Raum) die eindimensionale Fourier-Transformation der Projektion auf die ${\displaystyle x}$-Achse im realen Raum ist, also ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy}$.

Die zweidimensionale Fourier-Transformation der Funktion ${\displaystyle f(x,y)}$ lautet:

${\displaystyle F(u,v)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-i2\pi (ux+vy)}dxdy}$.

Um den Schnitt entlang der ${\displaystyle u}$-Achse zu erhalten, wird für ${\displaystyle v}$ der Wert ${\displaystyle 0}$ eingesetzt. Das ergibt:

${\displaystyle F(u,0)=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy\right]e^{-i2\pi ux}dx}$.

Der Ausdruck in den eckigen Klammern entspricht der oben beschriebenen Projektion. Damit beschreibt ${\displaystyle F(u,0)}$ die eindimensionale Fourier-Transformation dieser Projektion.[1]

Dieser Beweis lässt sich auf den allgemeinen Fall ausweiten, da er auch für beliebig verschobene oder rotierte Projektionen gilt. Das Zentralschnitt-Theorem gilt auch in höheren Dimensionen.

Anwendung

Das Zentralschnitt-Theorem wird etwa im Bereich der tomografischen Rekonstruktion angewendet. Indem Projektionen aus verschiedenen Winkeln eines Objekts erstellt werden, kann das Objekt im Fourier-Raum beschrieben werden und damit auch im realen Raum, über eine inverse Fourier-Transformation.[3][4]

In der Computertomographie wird das Messinstrument um die Probe rotiert und erstellt so Projektionen aus verschiedenen Winkeln. In der Elektronenmikroskopie ist das Messinstrument meist statisch, während die Probe schrittweise geneigt wird und so Projektionen aus verschiedenen Winkeln erstellt werden.[5]

Einzelnachweise

1. Ronald Bracewell: Fourier Analysis and Imaging. Springer Science+Business Media, New York 2003, ISBN 1-4613-4738-6 (englisch). 
2. Ronald Bracewell: Strip Integration in radio astronomy. In: Australian Journal of Physics. Band 9, Nr. 2, 1956, S. 198–217, doi:10.1071/PH560198 (englisch). 
3. C. Barry Carter, David B. Williams (Hrsg.): Transmission Electron Microscopy: Diffraction, Imaging and Spectrometry. Springer International Publishing, Switzerland 2016, ISBN 978-3-319-26649-7, doi:10.1007/978-3-319-26651-0 (englisch). 
4. J. Scott Tyo, Andrey Alenin: Field Guide to Linear Systems in Optics. SPIE, the international society for optics and photonics, 2015, ISBN 978-1-62841-547-6, doi:10.1117/3.1002932 (englisch). 
5. Peter W. Hawkes, John C. H. Spence (Hrsg.): Springer Handbook of Microscopy. Springer Nature, Switzerland 2019, ISBN 978-3-03000068-4 (englisch).