Mielck stammte aus eine Apotheker- und Pastorenfamilie. Er besuchte von 1852 bis 1856 das Johanneum zu Hamburg. Anschließend war er in Hamburg bis 1860 Apotheker-Lehrling, dann Apotheker-Gehilfe in der Schwan-Apotheke bei seinem Vater. In dieser Zeit besuchte er Vorlesungen des Akademischen Gymnasiums. Von 1861 bis 1865 war er an Apotheken in St. Petersburg und Moskau tätig, bevor er das Studium an der Universität Göttingen aufnahm. Für zwei Semester wechselte er an die Universität Heidelberg. 1869 schloss er sein Studium mit dem Apothekerexamen und der Promotion bei Rudolph Fittig in Göttingen mit der DissertationBeiträge zur Kenntnis der Piperinsäure ab.
Mielck wurde 1885 Mitglied im Vorstand des Vereines für Hamburgische Geschichte, 1887 Pharmazeutischer Assistent des Medizinal Collegiums in Hamburg und 1888 Bibliotheksvorsteher in der Hamburgischen Gesellschaft zur Beförderung der Künste und nützlichen Gewerbe. Zuletzt übernahm er 1891 den Vorsitz in der Kommission für die Altertümersammlung in Hamburg.