Weylsche Integralformel

In der Mathematik ist die Weylsche Integralformel oder Integralformel von Weyl eine Formel zur Berechnung des Integrals von Funktionen auf kompakten Lie-Gruppen, mit der insbesondere die Berechnung des Integrals von Klassenfunktionen auf eine Integration über den maximalen Torus reduziert werden kann. Sie ist nach Hermann Weyl benannt.

Aussage

Sei ${\displaystyle G}$ eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe, ${\displaystyle T\subset G}$ ein maximaler Torus und ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {C} }$ eine stetige Funktion. Dann ist

${\displaystyle \int _{G}f(g)\,dg={\frac {1}{\#W}}\int _{T}\det(\operatorname {Id} -\operatorname {Ad} _{G/T}(t^{-1}))\int _{G/T}f(gtg^{-1})\,dg\,dt}$,

wobei ${\displaystyle W}$ die Weyl-Gruppe von ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{G/T}\colon T\to \operatorname {Aut} (T_{e}G/T)}$ die Einschränkung der adjungierten Darstellung ${\displaystyle \operatorname {Ad} \mid _{T}}$ auf den ersten Summanden der ${\displaystyle \operatorname {Ad} \mid _{T}}$-invarianten Zerlegung ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}(G/T)\oplus {\mathfrak {t}}}$ bedeutet.

Spezialfall

Insbesondere erhält man für eine stetige Klassenfunktion

${\displaystyle \int _{G}f(g)\,dg={\frac {1}{\#W}}\int _{T}\det(\operatorname {Id} -\operatorname {Ad} _{G/T}(t^{-1}))f(t)\,dt}$,

man braucht also nur über den maximalen Torus zu integrieren.

Erläuterungen

Es gilt

${\displaystyle \det(\operatorname {Id} -\operatorname {Ad} _{G/T}(t^{-1}))=\prod _{\alpha >0}\left(e^{\alpha (t)/2}-e^{-\alpha (t)/2}\right)}$,

wobei ${\displaystyle \alpha (t)}$ vom Eigenwertproblem abhängt.

Beispiel

Für ${\displaystyle G=\mathbb {U} (n)}$ ergibt sich

${\displaystyle \int _{G}f(g)\mathrm {d} g={\frac {1}{n!}}\int _{T}f(\operatorname {diag} (x_{1},\ldots ,x_{n}))|\Delta |^{2}\prod _{i=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{x_{i}}}}$,

wobei ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ die Vandermonde-Determinante ist, außerdem ist ${\displaystyle \#W=n!}$.

Beweis

Der Beweis folgt aus den Eigenschaften der durch

${\displaystyle q(g,t)=gtg^{-1}}$

definierten Abbildung

${\displaystyle q\colon G/T\times T\to G}$,

nämlich

${\displaystyle \deg(q)=\#W}$

für den Abbildungsgrad und

${\displaystyle \det(\mathrm {d} q(gT,t))=\det(\operatorname {Ad} _{G/T}(t^{-1})-\operatorname {Id} )}$

für die Determinante des Differentials von ${\displaystyle q}$.

Literatur

• T. Bröcker, T. tom Dieck: Representations of compact Lie groups. Springer Verlag New York 1985.
• M. Sepanski: Compact Lie groups. Springer Verlag New York 2007.