Die Variationsrechnung ist ein mathematisches Teilgebiet der Analysis, in welchem kleine Änderungen in Funktionen und Funktionalen studiert werden, um Minima und Maxima von Funktionalen zu bestimmen.
Dieses (unendlichdimensionale) Optimierungsproblem mit Anwendungen in der theoretischen und der mathematischen Physik wurde um die Mitte des 18. Jahrhunderts insbesondere von Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange zu einem Fachgebiet entwickelt.[1] Die Variationsrechnung, ihre verwandten Themen und Anwendungen sind Gegenstand aktueller Lehre,[2] Weiterentwicklung[3] und Forschung.[4] Die Frage „Wie können die Methoden der Variationsrechnung weiterentwickelt werden?“ ist das 23. Problem auf Hilberts Liste. Weitere Beiträge lieferten u. a. die Mathematiker Ennio De Giorgi und Charles Morrey. Ihre Forschungsarbeiten führte zur Lösung des 19. Hilbert-Problems mit der Herausforderung „Sind alle Lösungen von regulären Variationsproblemen analytisch?“. Die von der deutschen Mathematikerin Emmy Noether entwickelten Theoreme, die mit der Variationsrechnung zusammenhängen,[5][6] spielen heutzutage eine bedeutende Rolle in der modernen Physik (Symmetrie). Der US-Mathematikerin Karen Uhlenbeck wurde 2019 der Abelpreis zugesprochen.[7] Uhlenbeck hat sich intensiv mit der Variationsrechnung befasst.[8]
Die Variationsrechnung beschäftigt sich mit reellen Funktionen von Funktionen, die auch Funktionale genannt werden. Solche Funktionale können etwa Integrale über eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen sein. Dabei interessiert man sich für stationäre Funktionen, also solche, für die das Funktional ein Maximum, ein Minimum (Extremale)[9] oder einen Sattelpunkt annimmt. Einige klassische Probleme können elegant mit Hilfe von Funktionalen formuliert werden.
Das Schlüsseltheorem der Variationsrechnung ist die Euler-Lagrange-Gleichung, genauer „Euler-Lagrange’sche Differentialgleichung“. Diese beschreibt die Stationaritätsbedingung eines Funktionals. Wie bei der Aufgabe, die Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, wird sie aus der Analyse kleiner Änderungen (Variation) um die angenommene Lösung hergeleitet. Die Euler-Lagrangesche Differentialgleichung ist lediglich eine notwendige Bedingung. Weitere notwendige Bedingungen für das Vorliegen einer Extremalen lieferten Adrien-Marie Legendre und Alfred Clebsch sowie Carl Gustav Jacob Jacobi. Eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung stammt von Karl Weierstraß.[10][11] Weierstraß präsentierte ein Gegenbeispiel zum Dirichletschen Prinzip. Basierend auf dieser neuen Erkenntnis („Existenztheorien“)[12] entwickelte sich die Variationsrechnung fortan zu den Direkten Methoden der Variationsrechnung.[12]
Anwendungsgebiete
Historisch
Ein typisches Anwendungsbeispiel ist das Brachistochronenproblem: Auf welcher Kurve in einem Schwerefeld von einem Punkt A zu einem Punkt B, der unterhalb, aber nicht direkt unter A liegt, benötigt ein Objekt die geringste Zeit zum Durchlaufen der Kurve? Von allen Kurven zwischen A und B minimiert eine den Ausdruck, der die Zeit des Durchlaufens der Kurve beschreibt. Dieser Ausdruck ist ein Integral, das die unbekannte, gesuchte Funktion, die die Kurve von A nach B beschreibt, und deren Ableitungen enthält.
Grundlegend ist der Euler-Lagrange Ansatz effektiv im Auffinden von Extremalen von Funktionalen. Jedoch ist es bereits bei mehreren Variablen, wo die Euler-Lagrange-Gleichung eine partielle Differentialgleichung darstellt, nicht möglich, eine explizite Lösung zu finden. Es existieren weitere Einschränkungen.[12] Hingegen gehen die sog. Direkten Methoden der Variationsrechnung auf den generellen Fall ein, welcher der Frage nachgeht, unter welchen generellen Bedingungen können Funktionale minimiert werden?[12] Die Ansätze bedienen sich dabei stark der Methoden der Funktionalanalysis.[20] Wichtige Theoreme und Beiträge zur Methode erfolgten durch Tonelli, Ascoli, Arzelà und Hilbert.[21]
Zentrales Element bildet die Euler-Lagrange-Gleichung[12]
,
die für gerade zur Lagrange-Gleichung aus der klassischen Mechanik wird. ist dabei die Variation, die sog. Lagrangefunktion und das Funktional. Mehr dazu siehe die Herleitung.
Ein Hilfsmittel aus der Analysis reeller Funktionen in einer reellen Veränderlichen
Im Folgenden wird eine wichtige Technik der Variationsrechnung demonstriert, bei der eine notwendige Aussage für eine lokale Minimumstelle einer reellen Funktion mit nur einer reellen Veränderlichen in eine notwendige Aussage für eine lokale Minimumstelle eines Funktionals übertragen wird. Diese Aussage kann dann oftmals zum Aufstellen beschreibender Gleichungen für stationäre Funktionen eines Funktionals benutzt werden.
Durch den folgenden einfachen Trick tritt an die Stelle des „schwierig handhabbaren“ Funktionals eine reelle Funktion , die nur von einem reellen Parameter abhängt „und entsprechend einfacher zu behandeln ist“.
Mit einem sei eine beliebige stetig durch den reellen Parameter parametrisierte Familie von Funktionen . Dabei sei die Funktion (d. h., für ) gerade gleich der stationären Funktion . Außerdem sei die durch die Gleichung
definierte Funktion an der Stelle differenzierbar.
Die stetige Funktion nimmt dann an der Stelle ein lokales Minimum an, da ein lokales Minimum von ist.
Aus der Analysis für reelle Funktionen in einer reellen Veränderlichen ist bekannt, dass dann gilt. Auf das Funktional übertragen heißt das
Beim Aufstellen der gewünschten Gleichungen für stationäre Funktionen wird dann noch ausgenutzt, dass die vorstehende Gleichung für jede beliebige („gutartige“) Familie mit gelten muss.
Das soll im nächsten Abschnitt anhand der Euler-Gleichung demonstriert werden.
Euler-Lagrange-Gleichung; Variationsableitung; weitere notwendige bzw. hinreichende Bedingungen
Gegeben seien zwei Zeitpunkte mit und eine in allen Argumenten zweifach stetig differenzierbare Funktion, die Lagrangefunktion
.
Beispielsweise ist bei der Lagrangefunktion des freien relativistischen Teilchens mit Masse und
das Gebiet das kartesische Produkt von und dem Inneren der Einheitskugel.
Als Funktionenraum wird die Menge aller zweifach stetig differenzierbaren Funktionen
gewählt, die zum Anfangszeitpunkt und zum Endzeitpunkt die fest vorgegebenen Orte bzw. einnehmen:
und deren Werte zusammen mit den Werten ihrer Ableitung in liegen,
.
Mit der Lagrangefunktion wird nun das Funktional , die Wirkung, durch
definiert.
Gesucht ist diejenige Funktion , die die Wirkung minimiert.
Entsprechend der im vorhergehenden Abschnitt vorgestellten Technik untersuchen wir dazu alle differenzierbaren einparametrigen Familien , die für durch die stationäre Funktion des Funktionals gehen (es gilt also ). Genutzt wird die im letzten Abschnitt hergeleitete Gleichung
Dabei stehen für die Ableitungen nach dem zweiten bzw. dritten Argument und für die partielle Ableitung nach dem Parameter .
Es wird sich später als günstig erweisen, wenn im zweiten Integral statt wie im ersten Integral steht. Das erreicht man durch partielle Integration:
An den Stellen und gelten unabhängig von die Bedingungen und . Ableiten dieser beiden Konstanten nach liefert . Deshalb verschwindet der Term und man erhält nach Zusammenfassen der Integrale und Ausklammern von die Gleichung
und mit
Außer zum Anfangszeitpunkt und zum Endzeitpunkt unterliegt keinen Einschränkungen. Damit sind die Zeitfunktionen bis auf die Bedingungen beliebige zweimal stetig differenzierbare Zeitfunktionen. Die letzte Gleichung kann nach dem Fundamentallemma der Variationsrechnung also nur dann für alle zulässigen erfüllt sein, wenn der Faktor im gesamten Integrationsintervall gleich null ist (das wird in den Bemerkungen etwas detaillierter erläutert). Damit erhält man für die stationäre Funktion die Euler-Lagrange-Gleichung
,
die für alle erfüllt sein muss.
Die angegebene, zum Verschwinden zu bringende Größe bezeichnet man auch als Eulerableitung der Lagrangefunktion ,
Vor allem in Physikbüchern wird die Ableitung als Variation bezeichnet. Dann ist die Variation von . Die Variation der Wirkung
ist wie bei eine Linearform in den Variationen der Argumente, ihre Koeffizienten heißen Variationsableitung des Funktionals . Sie ist im betrachteten Fall die Eulerableitung der Lagrangefunktion
.
Bemerkungen
Bei der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichung wurde berücksichtigt, dass eine stetige Funktion , die für alle mindestens zweimal stetig differenzierbaren Funktionen mit bei Integration über
den Wert null ergibt, identisch gleich null sein muss.
Das ist leicht einzusehen, wenn man berücksichtigt, dass es zum Beispiel mit
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion gibt, die in einer -Umgebung eines willkürlich herausgegriffenen Zeitpunktes positiv und ansonsten null ist. Gäbe es eine Stelle , an der die Funktion größer oder kleiner null wäre, so wäre sie aufgrund der Stetigkeit auch noch in einer ganzen Umgebung dieser Stelle größer bzw. kleiner null. Mit der eben definierten Funktion ist dann jedoch das Integral im Widerspruch zur Voraussetzung an ebenfalls größer bzw. kleiner null. Die Annahme, dass an einer Stelle ungleich null wäre, ist also falsch. Die Funktion ist also wirklich identisch gleich null.
Ist der Funktionenraum ein affiner Raum, so wird die Familie in der Literatur oftmals als Summe mit einer frei wählbaren Zeitfunktion festgelegt, die der Bedingung genügen muss. Die Ableitung ist dann gerade die Gateaux-Ableitung des Funktionals an der Stelle in Richtung . Die hier vorgestellte Version erscheint dem Autor etwas günstiger, wenn die Funktionenmenge kein affiner Raum mehr ist (wenn sie beispielsweise durch eine nichtlineare Nebenbedingung eingeschränkt ist; siehe etwa gaußsches Prinzip des kleinsten Zwanges). Sie ist ausführlicher bei Smirnow[25] dargestellt und lehnt sich an die Definition von Tangentialvektoren an Mannigfaltigkeiten an.[26]
Im Falle eines weiteren, einschränkenden Funktionals , der den Funktionenraum dadurch einschränkt, dass gelten soll, kann man analog zum reellen Fall das Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren anwenden:
für beliebiges und ein festes .
Verallgemeinerung für höhere Ableitung und Dimensionen
Die obige Herleitung mittels partieller Integration lässt sich auf Variationsprobleme der Art
übertragen, wobei in den Abhängigkeiten Ableitungen (siehe Multiindex-Notation) auch höherer Ordnung auftauchen, etwa bis zur Ordnung . ist gerade der Differentialoperator. In diesem Fall lautet die Euler-Lagrange-Gleichung:
wobei die Euler-Ableitung als
zu verstehen ist. Hierbei sind in in selbsterklärender Weise symbolisch die entsprechende Abhängigkeit von repräsentiert, steht für den konkreten Wert der Ableitung von . Insbesondere wird auch über summiert.
Weiterführende Verallgemeinerungen
Verallgemeinerungen für mehrere Funktionen, Dimensionen und auf Mannigfaltigkeiten können gemacht werden. In diesem Zusammenhang ist es günstig, einen sog. Euler-Operator einzuführen und davon gebrauch zu machen, wobei verschiedene Ansätze für den Operator existieren.[27][28]
I. M. Gelfand, S. W. Fomin: Calculus of variations. Dover Publications, Mineola, NY 2000, ISBN 978-0-486-41448-5 (Originaltitel: Calculus of variations. 1963. Übersetzt von Richard A. Silverman).
S. G. Michlin: Variationsmethoden der mathematischen Physik. Akademie-Verlag, Berlin 1962.
Paul Stäckel (Hrsg.): Abhandlungen über Variations-Rechnung. 2 Theile. Wilhelm Engelmann, Leipzig 1894;
Theil 1: Abhandlungen von Joh. Bernoulli (1696), Jac. Bernoulli (1697) und Leonhard Euler (1744) (= Ostwald’s Klassiker der exakten Wissenschaften. 46, ISSN0232-3419). 1894, (Digitalisat);
Theil 2: Abhandlungen von Lagrange (1762, 1770), Legendre (1786), und Jacobi (1837) (= Ostwald’s Klassiker der exakten Wissenschaften. 47). 1894, (Digitalisat).
Friedrich Stegmann; Lehrbuch der Variationsrechnung und ihrer Anwendung bei Untersuchungen über das Maximum und Minimum. Kassel, Luckhardt, 1854.
Einzelnachweise
↑Jeremy Gray: Change and Variations: A History of Differential Equations to 1900 (= Springer Undergraduate Mathematics Series). Springer International Publishing, Cham 2021, ISBN 978-3-03070574-9, doi:10.1007/978-3-030-70575-6 (englisch).
↑Hubert Goldschmidt, Shlomo Sternberg: The Hamilton-Cartan formalism in the calculus of variations. In: Annales de l’institut Fourier. Band23, Nr.1, 1973, ISSN0373-0956, S.203–267, doi:10.5802/aif.451 (centre-mersenne.org [abgerufen am 21. Oktober 2022]).
↑Vladimir I. Pupyshev, H. E. Montgomery: Some problems in applications of the linear variational method. In: European Journal of Physics. Band36, Nr.5, 1. September 2015, ISSN0143-0807, S.055043, doi:10.1088/0143-0807/36/5/055043.
↑Simon Donaldson: Karen Uhlenbeck and the Calculus of Variations. In: Notices of the American Mathematical Society. Band66, Nr.03, 1. März 2019, ISSN0002-9920, S.1, doi:10.1090/noti1806 (ams.org [PDF; abgerufen am 18. Oktober 2022]).
↑ abcdeHansjörg Kielhöfer: Calculus of Variations (= Texts in Applied Mathematics. Texts in Applied Mathematics). Band67. Springer International Publishing, Cham 2018, ISBN 978-3-319-71122-5, doi:10.1007/978-3-319-71123-2 (englisch).
↑G. Sardanashvily: Classical field theory. Advanced mathematical formulation. In: International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. Band05, Nr.07, November 2008, ISSN0219-8878, S.1163–1189, doi:10.1142/S0219887808003247, arxiv:0811.0331 [abs].
↑Wladimir I. Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik (= Hochschulbücher für Mathematik. Bd. 5a). Teil 4, 1. (14. Auflage, deutschsprachige Ausgabe der 6. russischen Auflage). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00366-8.
↑Siehe auch Helmut Fischer, Helmut Kaul: Mathematik für Physiker. Band 3: Variationsrechnung, Differentialgeometrie, mathematische Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie. 2., überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2006, ISBN 3-8351-0031-9.
↑Sadri Hassani: Calculus of Variations, Symmetries, and Conservation Laws. In: Mathematical Physics. Springer International Publishing, Cham 2013, ISBN 978-3-319-01194-3, S.1047–1075, doi:10.1007/978-3-319-01195-0_33.