Die Trigammafunktion
ψ
1
(
z
)
{\displaystyle \psi _{1}(z)}
komplexen Zahlenebene . In der Mathematik ist die Trigamma-Funktion die zweite Polygammafunktion [ 1] Digammafunktion
ψ
{\displaystyle \psi }
spezielle Funktion und wird üblicherweise mit
ψ
1
{\displaystyle \psi _{1}}
Ableitung der Funktion
ln
{\displaystyle \ln }
(
Γ
(
x
)
)
{\displaystyle (\Gamma (x))}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
Gammafunktion bezeichnet.
Definition und weitere Darstellungen
Die Definition lautet:
ψ
1
(
z
)
=
d
2
d
z
2
ln
Γ
(
z
)
.
{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\ln \Gamma (z).}
Daraus folgt der Zusammenhang mit der Digammafunktion
ψ
(
z
)
{\displaystyle \psi (z)}
ψ
1
(
z
)
=
d
d
z
ψ
(
z
)
{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\psi (z)}
die Trigammafunktion die Ableitung der Digammafunktion ist.
Aus der Summendarstellung
ψ
1
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
1
(
z
+
n
)
2
=
ζ
(
2
,
z
)
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}}=\zeta (2,z)}
folgt, dass die Trigammafunktion ein Spezialfall der hurwitzschen
ζ
{\displaystyle \zeta }
[ 2]
Eine Darstellung als Doppelintegral ist
ψ
1
(
z
)
=
∫
0
1
d
y
y
∫
0
y
x
z
−
1
d
x
1
−
x
.
{\displaystyle \psi _{1}(z)=\int \limits _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}\int \limits _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}\,\mathrm {d} x}{1-x}}.}
Außerdem gilt
ψ
1
(
z
)
=
−
∫
0
1
x
z
−
1
ln
x
1
−
x
d
x
.
{\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,\mathrm {d} x.}
Berechnung und Eigenschaften
Die asymptotische Berechnung schließt die Bernoulli-Zahlen
B
2
k
{\displaystyle B_{2k}}
ψ
1
(
z
)
∼
1
z
+
1
2
z
2
+
∑
k
=
1
N
B
2
k
z
2
k
+
1
{\displaystyle \psi _{1}(z)\sim {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}}
Zwar ist die Reihe für kein
z
{\displaystyle z}
N
→
∞
{\displaystyle N\to \infty }
N
{\displaystyle N}
|
z
|
{\displaystyle |z|}
N
{\displaystyle N}
Die Rekursionsformel der Trigammafunktion lautet:
ψ
1
(
z
+
1
)
=
ψ
1
(
z
)
−
1
z
2
{\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}}
Die Funktionalgleichung der Trigammafunktion hat die Form einer Reflexionsgleichung und ist gegeben durch:
ψ
1
(
1
−
z
)
+
ψ
1
(
z
)
=
π
2
csc
2
(
π
z
)
.
{\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)=\pi ^{2}\csc ^{2}(\pi z).\,}
Hier ist
csc
{\displaystyle \csc }
Kosekans .
Spezielle Werte
Es folgt eine Auflistung einiger spezieller Werte der Trigammafunktion, wobei
G
{\displaystyle G}
Catalansche Konstante ,
ζ
(
x
)
{\displaystyle \zeta (x)}
Riemannsche Zetafunktion und
C
l
2
{\displaystyle {\rm {{Cl}_{2}}}}
Clausen-Funktion [ 3]
ψ
1
(
1
4
)
=
π
2
+
8
G
ψ
1
(
1
3
)
=
2
3
π
2
+
3
3
⋅
C
l
2
(
2
3
π
)
ψ
1
(
1
2
)
=
1
2
π
2
ψ
1
(
2
3
)
=
2
3
π
2
−
3
3
⋅
C
l
2
(
2
3
π
)
ψ
1
(
3
4
)
=
π
2
−
8
G
ψ
1
(
1
)
=
ζ
(
2
)
=
1
6
π
2
ψ
1
(
5
4
)
=
π
2
+
8
G
−
16
ψ
1
(
3
2
)
=
1
2
π
2
−
4
ψ
1
(
2
)
=
1
6
π
2
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&={}&\pi ^{2}+8G\\&\psi _{1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)&={}&{\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}+3{\sqrt {3}}\cdot {\rm {{Cl}_{2}({\tfrac {2}{3}}\pi )}}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={}&{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {2}{3}}\right)&={}&{\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}-3{\sqrt {3}}\cdot {\rm {{Cl}_{2}({\tfrac {2}{3}}\pi )}}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)&={}&\pi ^{2}-8G\\&\psi _{1}\,(1)&={}&\zeta (2)={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {5}{4}}\right)&={}&\pi ^{2}+8G-16\\&\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={}&{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}-4\\&\psi _{1}\,(2)&={}&{\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-1\end{aligned}}}
Einzelnachweise
↑ Eric W. Weisstein : Polygamma Function .MathWorld ↑ Eric W. Weisstein : Hurwitz Zeta Function .MathWorld ↑ Eric W. Weisstein : Clausen Function .MathWorld
