Sellmeier-Gleichung

Die Sellmeier-Gleichung ist in der Optik eine empirisch ermittelte, funktionelle Beschreibung der Abhängigkeit des Brechungsindex ${\displaystyle n}$ eines lichtdurchlässigen Mediums von der Wellenlänge ${\displaystyle \lambda }$ des Lichts. Die Gleichung wurde nach Wolfgang von Sellmeier benannt, der sie 1871 in Anlehnung an die Cauchy-Gleichung und Kramers-Kronig-Relation veröffentlichte.[1][2] Anwendung findet sie vor allem in der technischen Optik zur Beschreibung der Dispersion von optischem Glas und anderen optischen Werkstoffen.

Mathematische Beschreibung

Beispiel: Koeffizienten für das Borosilikatglas BK7

Koeffizient	Wert
B1	1,03961212
B2	0,231792344
B3	1,01046945
C1	6,00069867·10^−3 μm^2
C2	2,00179144·10^−2 μm^2
C3	103,560653 μm^2

Darstellung des Brechungsindex von Borsilikatglas (BK7) gegen die Wellenlänge. Im Diagramm werden die gemessenen Werte und entsprechende parametrische Anpassungen der Cauchy- bzw. Sellmeier-Gleichung miteinander verglichen.

Die Sellmeier-Gleichung kann als Erweiterung der Cauchy-Gleichung aufgefasst werden, sie lautet:

${\displaystyle n^{2}(\lambda )\,=\,1+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{3}}}}$

mit B_1,2,3 und C_1,2,3 als experimentell ermittelte Sellmeier-Koeffizienten. Die B_1,2,3 sind dimensionslos und die C_1,2,3 werden gewöhnlich in μm² angegeben.

Die Genauigkeit im sichtbaren Bereich ist in der Regel besser als ${\displaystyle \pm 5\cdot 10^{-6}}$.

Der rechte Term der Gleichung kann für eine größere Genauigkeit auch um weitere Summanden erweitert werden:

${\displaystyle n^{2}(\lambda )\,=\,1+\sum _{i=1}^{m}{\frac {B_{i}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{i}}}}$

Setzt man ${\displaystyle C_{i}=\lambda _{i}^{2}}$, so lassen sich die ${\displaystyle \lambda _{i}}$ als Resonanzwellenlängen von Absorptionslinien oder -banden erklären.

Siehe auch

• Achromat
• Apochromat
• Chromatische Aberration.

Einzelnachweise

1. Dirk Poelman, Philippe Frederic Smet: Methods for the determination of the optical constants of thin films from single transmission measurements: a critical review. In: Journal of Physics D: Applied Physics. Band 36, Nr. 15, 2003, S. 1850–1857, doi:10.1088/0022-3727/36/15/316. 
2. Wolfgang von Sellmeier: Zur Erklärung der abnormen Farbenfolge in Spectrum einiger Substanzen. In: Annalen der Physik und Chemie. Band 143, 1871, S. 272–282, doi:10.1002/andp.18712190612 (Digitalisat auf Gallica).