Satz von Motzkin-Taussky

Der Satz von Motzkin-Taussky ist ein Resultat aus der Operator- und Matrizentheorie über die Darstellung einer Summe zweier beschränkter, linearer Operatoren (resp. Matrizen). Der Satz wurde von Theodore Motzkin und Olga Taussky-Todd bewiesen.[1]

Das Theorem findet Anwendung in der Störungstheorie, wo man u. a. Operatoren der Form

${\displaystyle T+xT_{1}}$

untersucht.

Aussage

Sei ${\displaystyle X}$ ein endlich-dimensionaler komplexer Vektorraum. Weiter seien ${\displaystyle A,B\in B(X)}$ so, dass alle Linearkombinationen

${\displaystyle T=\alpha A+\beta B}$

diagonalisierbar sind für alle ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$. Dann sind alle Eigenwerte von ${\displaystyle T}$ von der Form

${\displaystyle \lambda _{T}=\alpha \lambda _{A}+\beta \lambda _{B}}$

(d. h. sie sind linear in ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$) und ${\displaystyle \lambda _{A},\lambda _{B}}$ sind unabhängig von der Wahl der ${\displaystyle \alpha ,\beta }$.[2]

Hier steht ${\displaystyle \lambda _{A}}$ für einen Eigenwert von ${\displaystyle A}$, analog ${\displaystyle \lambda _{B}}$ für einen Eigenwert von ${\displaystyle B}$.

Erläuterungen

• Bei Motzkin und Taussky heißt die obige Eigenschaft der Linearität der Eigenwerte in ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ L-Eigenschaft.[3]

Literatur

• Tosio Kato: Perturbation Theory for Linear Operators. Hrsg.: Springer. Berlin, Heidelberg 1995, ISBN 978-3-540-58661-6, S. 86, doi:10.1007/978-3-642-66282-9. 
• Shmuel Friedland: A generalization of the Motzkin-Taussky theorem. In: Linear Algebra and its Applications. Band 36, 1981, S. 103–109, doi:10.1016/0024-3795(81)90223-8. 

Einzelnachweise

1. T. S. Motzkin und Olga Taussky: Pairs of Matrices with Property L. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 73, Nr. 1, 1952, S. 108–14, doi:10.2307/1990825. 
2. Tosio Kato: Perturbation Theory for Linear Operators. Hrsg.: Springer. Berlin, Heidelberg 1995, ISBN 978-3-540-58661-6, S. 86, doi:10.1007/978-3-642-66282-9. 
3. T. S. Motzkin und O. Taussky: Pairs of Matrices With Property L. II. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 80, Nr. 2, 1955, S. 387–401, doi:10.2307/1992996.