Satz von Hjelmslev

Der Satz von Hjelmslev (auch Hjelmslevscher Mittelliniensatz genannt, in der englischsprachigen Literatur als Hjelmslev’s theorem bekannt) ist ein Satz der Geometrie der Ebene, welcher auf den dänischen Mathematiker Johannes Hjelmslev (1873 bis 1950) zurückgeht.[1][2][3][4] Hjelmslev formuliert diesen Satz im Rahmen seiner berühmten Abhandlung über eine Neue Begründung der ebenen Geometrie, in welcher er zeigt, dass eine ebene Geometrie unter ausschließlicher Benutzung ebener Axiome, ohne Stetigkeitsbetrachtungen, ganz unabhängig von der Parallelenfrage aufgebaut werden kann.[5][6] Die dabei in § 2 der Abhandlung (Kongruenz und Symmetrie) angestellten Untersuchungen zu den ebenen Kongruenzabbildungen gipfeln im Satz von Hjelmslev,[7] welcher eine fundamentale Eigenschaft dieser Kongruenzabbildungen behandelt.

Formulierung des Satzes

Die verbundenen roten Punkte sind Bild-Urbild-Paare einer Kongruenz, die grünen Mittelpunkte liegen auf einer Geraden.

Gegeben seien in der euklidischen Ebene eine Kongruenzabbildung ${\displaystyle \phi }$ sowie zwei Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle g'}$ mit ${\displaystyle g'=\phi (g)}$.

Für jeden Punkt ${\displaystyle P\in g}$ und seinen Bildpunkt ${\displaystyle P'=\phi (P)\in g'}$ sei ${\displaystyle M(P)}$ der Mittelpunkt der Strecke ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$.

Dann gilt:

Entweder

sind die Mittelpunkte ${\displaystyle M(P)}$ alle paarweise verschieden und bilden eine einzige Gerade

oder

die Mittelpunkte ${\displaystyle M(P)}$ fallen zu einem einzigen Punkt zusammen.

Literatur

Originalarbeiten

• J. Hjelmslev: Neue Begründung der ebenen Geometrie. In: Math. Ann. 64. Jahrgang, 1907, S. 449–474. 
• Frank Löbell: Der Hjelmslevsche Mittelliniensatz und verwandte Sätze. In: Monatshefte für Mathematik. 65. Jahrgang, 1961, S. 249–251. 

Monographien

• Friedrich Bachmann: Ebene Spiegelungsgeometrie. Eine Vorlesung über Hjelmslev-Gruppen. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim [u. a.] 1989, ISBN 3-411-03219-7. 
• H. S. M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie. Ins Deutsche übersetzt von J. J. Burckhardt (= Wissenschaft und Kultur. Band 17). Birkhäuser Verlag, Basel / Stuttgart 1963, S. 54 (MR0692941). 
• Helmut Karzel, Hans-Joachim Kroll: Geschichte der Geometrie seit Hilbert. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1988, ISBN 3-534-08524-8. 
• D. Pedoe: A Course of Geometry for Colleges and Universities. Cambridge University Press, Cambridge 1970, ISBN 0-521-07638-2. 

Weblinks

• Jay Warendorff: Animation zum Satz von Hjelmslev
• Frank Löbell: Link zu der Abhandlung

Einzelnachweise

1. Bachmann: S. 79.
2. Coxeter: S. 69.
3. Löbell: Der Hjelmslevsche Mittelliniensatz und verwandte Sätze. In: Monatsh. Math. Band 65, S. 249 ff. 
4. Pedoe: S. 195.
5. Hjelmslev: Neue Begründung der ebenen Geometrie. In: Math. Ann. Band 64, S. 449 ff. 
6. In moderner Terminologie, etwa bei Karzel, Kroll: Geschichte der Geometrie seit Hilbert. S. 160 ff., ist die Rede von Hjelmslevs Begründung der ebenen absoluten Geometrie mit Halbdrehungen. Karzel / Kroll heben hinsichtlich dieser Abhandlung von Hjelmslev hervor, dass die Hjelmslevschen Methoden für die Weiterentwicklung der Geometrie von größter Bedeutung waren
7. Hjelmslev: Neue Begründung der ebenen Geometrie. In: Math. Ann. Band 64, S. 459.