Satz vom abgeschlossenen Graphen

Der Satz vom abgeschlossenen Graphen ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis.[1]

Formulierung

Es seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Banachräume und ${\displaystyle A\colon X\rightarrow Y}$ ein linearer Operator. Es bezeichne ${\displaystyle \Gamma (A):=\{(x,Ax)\mid x\in X\}}$ den Graphen von ${\displaystyle A}$.

Dann ist ${\displaystyle A}$ genau dann beschränkt (und somit stetig), wenn ${\displaystyle A}$ ein abgeschlossener Operator ist (d. h. ${\displaystyle \Gamma \left(A\right)}$ abgeschlossen in ${\displaystyle X\times Y}$).

Herleitung

Der Satz vom abgeschlossenen Graphen kann auf das Lemma von Zabreiko zurückgeführt werden.[2]

Ferner kann der Satz wie folgt aus dem Satz von der offenen Abbildung hergeleitet werden. Wegen der Abgeschlossenheit des Graphen ist ${\displaystyle \Gamma (A)}$ ein Banachraum. Trivialerweise ist ${\displaystyle (x,Ax)\mapsto x}$ eine bijektive, lineare, beschränkte Abbildung zwischen ${\displaystyle \Gamma (A)}$ und ${\displaystyle X}$. Aus dem Satz von der offenen Abbildung folgt dann, dass die Umkehrung ${\displaystyle x\mapsto (x,Ax)}$ ebenfalls beschränkt ist, und das impliziert die Stetigkeit von ${\displaystyle A}$.

Verallgemeinerung

Der Satz vom abgeschlossenen Graphen kann in der Theorie lokalkonvexer Räume auf größere Raumklassen ausgedehnt werden, siehe dazu Raum mit Gewebe, ultrabornologischer Raum oder (LF)-Raum.

Anwendung

Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist eine Folgerung des Satzes vom abgeschlossenen Graphen.

Literatur

• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, doi:10.1007/978-3-642-22261-0. 
• Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). 8., vollständig überarbeitete Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-55406-7, doi:10.1007/978-3-662-55407-4. 

Einzelnachweise

1. Hans Wilhelm Alt: Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit. In: Lineare Funktionalanalysis. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, S. 229–236, doi:10.1007/978-3-642-22261-0_7 (springer.com [abgerufen am 27. Oktober 2022]). 
2. P. P. Zabreiko: A theorem for semiadditive functionals. In: Functional Analysis and Its Applications. Band 3, Nr. 1, 1969, ISSN 0016-2663, S. 70–72, doi:10.1007/BF01078277 (springer.com [abgerufen am 27. Oktober 2022]).