Reeb-Blätterung

In der Mathematik ist die Reeb-Blätterung eine spezielle Blätterung des Volltorus, benannt nach Georges Reeb.

Konstruktion

Querschnitt durch eine Reeb-Blätterung.

Definiere eine Submersion

${\displaystyle f:D^{2}\times {\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }}$

durch

${\displaystyle f\left(x,t\right):=\left(|x|^{2}-1\right)e^{t},}$

wobei ${\displaystyle D^{2}}$ die 2-dimensionalen Kreisscheibe ist. Die Niveaumengen dieser Submersion bilden eine Blätterung von ${\displaystyle D^{2}\times {\mathbb {R} }}$. Diese ist invariant unter der durch

${\displaystyle \left(x,t\right)\mapsto \left(x,t+n\right)}$ für ${\displaystyle \left(x,t\right)\in D^{2}\times {\mathbb {R} },n\in {\mathbb {Z} }}$

gegebenen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Wirkung, weil ${\displaystyle f(x,t+n)=c_{n}f(x,t)}$ mit der von ${\displaystyle x,t}$ unabhängigen Konstanten ${\displaystyle c_{n}=e^{n}}$ ist. Die induzierte Blätterung des Volltorus ${\displaystyle D^{2}\times S^{1}\cong \left(D^{2}\times {\mathbb {R} }\right)/{\mathbb {Z} }}$ heißt Reeb-Blätterung. Der berandende Torus

${\displaystyle T^{2}\cong \partial (D^{2}\times S^{1})}$

ist ein Blatt dieser Blätterung (die Niveaumenge ${\displaystyle f=0}$).

Reeb-Komponenten

Man sagt, eine Blätterung ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ einer 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ habe eine Reeb-Komponente, wenn es einen eingebetteten Volltorus

${\displaystyle D^{2}\times S^{1}\subset M}$

gibt, so dass die Einschränkung von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ auf ${\displaystyle D^{2}\times S^{1}}$ homöomorph zur Reeb-Blätterung ist.

Beispiel: Reeb-Blätterung der 3-Sphäre

Die 3-dimensionale Sphäre erhält man durch Verkleben zweier Volltori, siehe Standard-Heegaard-Zerlegung der 3-Sphäre. Die Reeb-Blätterung der 3-Sphäre erhält man durch die Reeb-Blätterungen der beiden Volltori.

Existenz von Blätterungen auf 3-Mannigfaltigkeiten

Nach einem Satz von Lickorish erhält man jede geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit durch Dehn-Chirurgie an einer Verschlingung in der 3-Sphäre. Man kann diesen Satz benutzen, um auf jeder geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit Blätterungen mit Reeb-Komponenten zu konstruieren.

Dagegen besitzen nicht alle geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeiten Blätterungen ohne Reeb-Komponenten.

Sogenannte straffe Blätterungen (engl.: taut foliations) besitzen keine Reeb-Komponenten.

Eigenschaften

Die Reeb-Blätterung ist ${\displaystyle C^{\infty }}$, aber nicht analytisch.

Ihr Blattraum ist nicht Hausdorffsch.

Literatur

• Harold William Rosenberg, Robert Roussarie: Reeb foliations. Ann. of Math. (2) 91 1970 1–24. pdf

Weblinks

• Manifold Atlas