Mangoldt-Funktion

In der Mathematik ist die Mangoldt-Funktion (auch Von Mangoldt-Funktion), benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans von Mangoldt, eine zahlentheoretische Funktion, die üblicherweise mit ${\displaystyle \Lambda }$ bezeichnet wird.

Die Mangoldt-Funktion besitzt die Eigenschaft, dass zusammengesetzte Zahlen rausgefiltert werden und nur die Primzahlen und Primzahlpotenzen übrig bleiben. Der Wert der Mangoldt-Funktion ist dann der Logarithmus der Primzahl.

Definitionen und grundlegende Eigenschaften

Die Mangoldtsche Funktion ist definiert als

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log(p)&{\text{falls }}n{\text{ sich als }}n=p^{k}{\text{ darstellen }}\mathrm {l{\ddot {a}}sst,} {\text{ wobei }}p{\text{ prim und }}k\in \mathbb {N} ^{+}\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

Erläuterungen

Für zusammengesetzte Zahlen ${\displaystyle n}$ also

${\displaystyle \Lambda (n)=0\iff n=p_{1}^{r_{1}},\dots ,p_{n}^{r_{n}},\qquad n\geq 2}$

wobei ${\displaystyle p_{1}^{r_{1}},\dots ,p_{n}^{r_{n}}}$ ihre Primfaktorzerlegung bezeichnet.

Das heißt, die Mangoldt-Funktion filtert in einem ersten Schritt sozusagen die Primzahlen und Primzahlpotenzen raus, in dem die zusammengesetzten Zahlen mit ${\displaystyle 0}$ identifiziert werden. In einem zweiten Schritt werden die Primzahlpotenzen und die Primzahlen mit dem Logarithmus der zugrundeliegenden Primzahl identifiziert.

Die ersten Werte von ${\displaystyle \Lambda (n)}$ sind

${\displaystyle 0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,0,\log 11,0,\log 13,0,0,\log 2,\log 17,0,\log 19,0,0,0\dots }$

Die Mangoldt-Funktion ist weder eine additive Funktion noch multiplikative Funktion.

exp(Λ(n))

${\displaystyle \exp(\Lambda (n))}$ lässt sich explizit angeben als

${\displaystyle e^{\Lambda (n)}={\frac {\operatorname {kgV} (1,2,3,\dotsc ,n)}{\operatorname {kgV} (1,2,3,\dotsc ,n-1)}}}$

wobei ${\displaystyle {\rm {kgV}}}$ das kleinste gemeinsame Vielfache bezeichnet.

Die ersten Werte der Folge ${\displaystyle \exp(\Lambda (n))}$ sind

${\displaystyle 1,2,3,2,5,1,7,2,3,1,11,1,13,1,1,2,17,1,19,1,1,1,\dots }$ (Folge A014963 in OEIS)

Summierte Mangoldt-Funktion

Die summierte Mangoldt-Funktion,

${\displaystyle \psi (n)=\sum _{i=1}^{n}\Lambda (i),}$

wird auch als Tschebyschow-Funktion bezeichnet. Sie spielt beim Beweis des Primzahlsatzes eine Rolle.

Teilersummen

Bezeichne mit ${\displaystyle \mu (n)}$ die Möbius-Funktion. Alle in diesem Abschnitt folgenden Formeln gelten für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Es gilt

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\Lambda (d)=\log n\,}$

Weiter gilt

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{d\mid n}\mu \left(d\right)\log \left({\frac {n}{d}}\right)\qquad (1)}$

${\displaystyle \Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log d\quad \quad (2)}$

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)\cdot \log d}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)\Lambda (d)=-\mu (n)\log n}$

Durch Anwendung der Mobius-Inversionsformel kann ${\displaystyle (1)}$ gezeigt werden, ${\displaystyle (2)}$ folgt daraus.

Hierbei bedeutet ${\displaystyle d\mid n}$, dass ${\displaystyle d}$ ein positiver Teiler von ${\displaystyle n}$ ist, d. h. die Summen laufen über alle positiven Teiler von ${\displaystyle n}$.

Folgerungen

Sei ${\displaystyle p}$ eine Primzahl, Beziehung ${\displaystyle (2)}$ kann man zum Beispiel nützen, wenn man Primzahlzwillinge ${\displaystyle (p,p+2)}$ untersucht

${\displaystyle \sum \limits _{p\leq x}\Lambda (p+2)=-\sum \limits _{p\leq x}\sum _{d\mid p+2}\mu (d)\log d.}$

Dirichlet-Reihen

Die Mangoldt-Funktion spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der Dirichletreihen.

Es gilt

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}\qquad \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;Re} (s)>1.}$

Die logarithmische Ableitung davon liefert einen Zusammenhang zwischen der Riemannschen ${\displaystyle \zeta }$-Funktion und der Mangoldt-Funktion:

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}\qquad \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;Re} (s)>1.}$

Allgemeiner gilt sogar: Ist ${\displaystyle f}$ multiplikativ und ihre Dirichletreihe ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

konvergiert für gewisse ${\displaystyle s}$, dann gilt

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Verallgemeinerte Mangoldt-Funktion

Die verallgemeinerte Mangoldt-Funktion ist definiert als

${\displaystyle \Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\log ^{k}(n/d)}$

wobei ${\displaystyle \mu }$ die Möbius-Funktion bezeichnet und ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} _{+}}$.

Als Dirichlet-Faltung geschrieben

${\displaystyle \Lambda _{k}(n)=(\mu \ast \log ^{k})(n).}$

Im Fall ${\displaystyle k=1}$ erhält man die gewöhnliche Mangoldt-Funktion ${\displaystyle \Lambda _{1}=\Lambda }$.[1]

Eigenschaften

• Für ${\displaystyle k\geq 1}$ gilt folgende Rekursion[2]

${\displaystyle \Lambda _{k+1}(n)=\Lambda _{k}(n)\log(n)+(\Lambda _{k}\ast \Lambda )(n)}$

• Es folgt aus der Rekursion, dass wenn ${\displaystyle \omega (n)>k}$ dann ist ${\displaystyle \Lambda _{k}(n)=0}$.

Abschätzen der Mangoldt-Funktion

Das Abschätzen der Mangoldt-Funktion ist ein zentrales Problem der analytischen Zahlentheorie. Es gibt hierzu verschiedene Methoden wie Winogradows Methode, der Null-Dichte-Methoden (englisch zero density methods) und Vaughans Identität.

Referenzen

• Eric W. Weisstein: Mangoldt Function. In: MathWorld (englisch).
• Springerlink

Einzelnachweise

1. John Friedlander und Henryk Iwaniec: Opera de Cribro. In: American Mathematical Society (Hrsg.): American Mathematical Society Colloquium Publications. Band 57, 2010, ISBN 978-0-8218-4970-5, S. 23 (englisch). 
2. J. B. Friedlander, D.R. Heath-Brown, H. Iwaniec, J. Kaczorowski: Analytic Number Theory: Lectures Given at the C.I.M.E. Summer School Held in Cetraro, Italy, July 11-18, 2002. Hrsg.: Physica-Verlag. Deutschland 2006, S. 16.