Linearität (Mathematik)

Linearität (von lateinisch līneāris ‚adjektivisch: Linien…‘)[1] drückt eine Eigenschaft im Zusammenhang mit Linien aus. Der Begriff wird in der Mathematik hauptsächlich bei Räumen verwendet, in denen Geraden eine Rolle spielen, sowie bei strukturerhaltenen Abbildungen zwischen solchen Räumen. Weiterhin wird das Attribut Linearität auch in allgemeineren Situationen vergeben, in denen Objekte in einer Reihe angeordnet werden können, aber es sich nicht um Punkte einer Geraden im geometrischen Sinne handelt. Die folgende Zusammenstellung zeigt die wichtigsten Verwendungen:

• die definierenden Eigenschaften eines Vektorraums, man spricht auch von linearen Räumen.[2]
• die Eigenschaft einer Abbildung zwischen linearen Räumen, die lineare Struktur zu erhalten, siehe lineare Abbildung.[3]
• die Eigenschaft einer geordneten Menge, dass je zwei Elemente vergleichbar sind, siehe lineare Ordnung.[4]

Viele weitere Verwendungen des Begriffs Linearität beziehen sich häufig, aber nicht ausschließlich, auf Situationen, in denen eine lineare Abbildung auftritt:

• Die Linearität eines linearen Gleichungssystems ${\displaystyle Ax=b}$ mit einer Matrix ${\displaystyle A}$ bezieht sich die auf Linearität der Abbildung ${\displaystyle x\mapsto Ax}$.
• Die Linearität einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung oder einer linearen partiellen Differentialgleichung bezieht sich darauf, dass der zugehörige Differentialoperator linear ist.
• Die Linearität bei der linearen Regression bezieht sich auf den Umstand, dass die zu erklärende Zielgröße der Regressionsanalyse affin-linear von der Einflussgröße abhängt, siehe auch Lineares Modell oder Linearer Prädiktor für mehrere Einflussgrößen.
• Bei der linearen Optimierung hat man es mit einer linearen Zielfunktion zu tun.
• Die Linearität in der linearen temporalen Logik bezieht sich auf die lineare Anordnung der Zeit.
• Die Linearität bei einem linearen Graphen bezieht sich auf die Anordnung der Knoten, die alle auf einem Pfad liegen.
• Bei einer linearen Gruppendarstellung bezieht sich die Linearität nicht auf die Darstellung selbst, die nur ein Gruppenhomomorphismus ist, sondern auf die Bilder der Gruppenelemente, die lineare Abbildungen auf einem linearen Raum sind.

Siehe auch

• Bilinearität
• Kollinearität
• Linearisierung
• Multilinearität
• Quasilinearität
• Sesquilinearität
• Sublinearität

Einzelnachweise

1. līneāris. In: Latein-Deutsch Wörterbuch. PONS Langenscheidt, 2024, abgerufen am 30. November 2024. 
2. Silvia Barnert et al.: Vektorraum. In: Lexikon der Physik. Spektrum der Wissenschaft, 1998, abgerufen am 19. November 2024: „Vektorraum, linearer Raum, ein Raum über einem skalaren Körper, auch Vektorraum genannt, der durch die Verknüpfungen (Vektoraddition) und (Multiplikation mit Skalaren) definiert ist, ...“ 
3. Guido Walz: Linearität. In: Lexikon der Mathematik. Spektrum der Wissenschaft, 2017, abgerufen am 19. November 2024: „Eigenschaft von Operatoren bzw. Abbildungen.“ 
4. Guido Walz: Ordnungsrelation. In: Lexikon der Mathematik. Spektrum der Wissenschaft, 2017, abgerufen am 19. November 2024: „Man spricht bei (M, ≤) genau dann von einer linearen, konnexen, totalen oder vollständigen Ordnungsrelation und bezeichnet M als linear, konnex, total oder vollständig geordnet, wenn für alle a, b ∈ M gilt, daß a ≤ b oder b ≤ a. Beispiele für lineare Ordnungsrelationen sind ℕ, ℤ, ℚ und ℝ mit den üblichen Ordnungen.“