Dieses Gegenbeispiel zeigt, dass es nicht genügt, wenn nur eine Nullfolge ist. Die Monotonie ist notwendig für dieses Kriterium. Betrachtet man die nicht-monotone Nullfolge
Die alternierende Reihe mit diesen Koeffizienten hat als ungerade Reihenglieder die negative harmonische Reihe, die divergiert. Daher ist auch die gesamte Reihe divergent.
Abschätzung des Grenzwerts
Das Leibniz-Kriterium liefert eine Abschätzung für den Grenzwert, denn bei derartig alternierenden Reihen liegt der Grenzwert immer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Partialsummen. Sei
die -te Partialsumme der Reihe
mit einer monoton fallenden Nullfolge .
Dann gilt für alle :
.
Es gibt zudem noch eine Fehlerabschätzung, das heißt eine Abschätzung des Restglieds der Summe nach Summanden:[3]
Beweis
Wir betrachten die Teilfolge der Folge der Partialsummen. Da die Folge monoton fallend ist,
gilt
.
Das heißt, die Folge ist ebenfalls monoton fallend.
Sie ist außerdem nach unten beschränkt, denn
,
nachdem die Klammerausdrücke wegen der Monotonie der Folge größer gleich Null sind. Die Folge ist also nicht nur monoton fallend, sondern auch nach unten beschränkt und damit nach dem Monotoniekriterium konvergent. Die Folge ist ebenfalls konvergent (ähnliches Argument wie oben, aber monoton steigend) und hat denselben Grenzwert, da
↑Gottfried Wilhelm Leibniz: De vera proportione circuli ad quadratum circumscritum in Numeris rationalibus expressa. In: Acta Eruditorum. 1682 (Latein, archive.org [abgerufen am 1. November 2022]). Zitiert nach Ernst Hairer, Gerhard Wanner: Analysis in historischer Entwicklung. Springer-Verlag, 2011, ISBN 978-3-642-13766-2, ISSN0937-7433, doi:10.1007/978-3-642-13767-9 (englisch: Analysis by Its History. 2008. Übersetzt von Andreas Lochmann).
↑Beweis nach Handbuch der Mathematik. Leipzig 1986, ISBN 3-8166-0015-8, S. 408–409. Im Unterschied zu diesem Artikel beginnt die Reihe im Buch mit , so dass sich ein kleiner Unterschied ergibt.