Kubischer Komplex

Beispiel eines kubischen Komplexes

In der Mathematik ist ein kubischer Komplex ein polyhedrischer Komplex, der aus Punkten, Strecken, Quadraten, Würfeln und Hyperwürfeln beliebiger Dimensionen gebaut ist.

Definition

Ein Elementarintervall ist eine Menge ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ der Form ${\displaystyle I=\left[l,l+1\right]}$ oder ${\displaystyle I=\left[l,l\right]}$ für eine ganze Zahl ${\displaystyle l\in \mathbb {Z} }$.

Ein Elementarwürfel ${\displaystyle Q\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ist ein Produkt ${\displaystyle Q=I_{1}\times \ldots \times I_{d}}$ von Elementarintervallen.

Ein kubischer Komplex ${\displaystyle X}$ ist eine Vereinigung von Elementarwürfeln, deren Schnittmenge jeweils entweder leer oder eine gemeinsame Seitenfläche ist.

Metrik

Auf einem kubischen Komplex wird eine Metrik definiert, indem jeder Elementarwürfel mit der euklidischen Metrik des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ versehen wird und der Abstand zweier Punkte in unterschiedlichen Elementarwürfeln dann als die kürzeste Länge eines aus Geraden in Elementarwürfeln zusammengesetzten Weges definiert wird.

Literatur

• Daniel Wise: From Riches to Raags: 3-Manifolds, Right-Angled Artin Groups, and Cubical Geometry, CBMS Regional Conference Series in Mathematics 2012; 141 pp; softcover, ISBN 0-8218-8800-5