Kovarianzoperator

Der Kovarianzoperator bezeichnet in der Stochastik einen linearen Operator, der den Begriff der Kovarianz auf unendlichdimensionale Räume erweitert. Der Begriff wird in der Theorie der stochastischen partiellen Differentialgleichungen und der stochastischen Analysis auf Banach- und Hilberträumen verwendet.

Definition

Sei ${\displaystyle E}$ ein lokalkonvexer Raum und ${\displaystyle E'}$ der topologische Dualraum. Weiter sei ${\displaystyle {\mathcal {E}}(E,E')}$ die zylindrische σ-Algebra und ${\displaystyle \mu }$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß darauf, das heißt für jedes ${\displaystyle f\in E'}$ wird durch das Bildmaß ${\displaystyle f^{*}\mu }$ ein Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definiert.

Kovarianzoperator

Der Kovarianzoperator ${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }:E'\to (E')^{*}}$ von ${\displaystyle \mu }$ ist definiert durch

${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }(\varphi )(\xi ):=\int _{E}(\varphi (x)-\mathbb {E} _{\mu }[\varphi ])(\xi (x)-\mathbb {E} _{\mu }[\xi ])\mu (\mathrm {d} x)}$

für ${\displaystyle \varphi ,\xi \in E^{'}}$ wobei ${\displaystyle \mathbb {E} _{\mu }}$ den Erwartungswert von ${\displaystyle \mu }$ bezeichnet

${\displaystyle \mathbb {E} _{\mu }[\varphi ]=\int _{E}\varphi (x)\mu (\mathrm {d} x).}$[1][2]

Das heißt also ${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }(\varphi )}$ ist ein Element des Bidualraums, das heißt ein Funktional auf ${\displaystyle E'}$, und es gilt

${\displaystyle \langle \operatorname {C} _{\mu }(g),f\rangle =\langle g,\operatorname {C} _{\mu }(f)\rangle =\operatorname {C} _{\mu }(f)(g).}$

Der Operator induziert eine symmetrische Bilinearform ${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\mu }:E'\times E'\to \mathbb {R} }$ durch ${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\mu }(\varphi ,\xi ):=\operatorname {C} _{\mu }(\varphi )(\xi )}$, welche bilinear und positiv definit ist, genannt Kovarianz.

Erläuterungen

• Seien ${\displaystyle a_{\mu }}$ und ${\displaystyle \varphi }$ beschränkt. Wenn ${\displaystyle E}$ ein Hilbert-Raum ist, dann gilt nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz für ${\displaystyle \varphi \in E'}$, dass ${\displaystyle \varphi (x)=\langle h,x\rangle }$ für alle ${\displaystyle x\in E}$ und ein ${\displaystyle h\in E}$ sowie ${\displaystyle a_{\mu }=\langle h,m\rangle }$ für ein ${\displaystyle m\in E}$, somit

${\displaystyle \langle \operatorname {C} _{\mu }h_{1},h_{2}\rangle =\int _{E}\langle h_{1},x-m\rangle \langle h_{2},x-m\rangle \mu (\mathrm {d} x)}$

für alle ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in E}$.[3]

• Der Kovarianzoperator ist ein reproduzierbarer Operator und induziert einen Cameron-Martin-Raum.

Beispiele

Der endliche Fall R^n

Sei ${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle (E')^{*}=\mathbb {R} ^{n}}$, da der Raum reflexiv ist. Dann ist ${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\mu }}$ die Kovarianzmatrix.

Gaußsches Maß

Sei ${\displaystyle \mu }$ ein gaußsches Maß auf einem separablen Banach-Raum ${\displaystyle (E,{\mathcal {B}}(E))}$, dann ist seine Fourier-Transformierte

${\displaystyle {\hat {\mu }}(f)=\int _{E}e^{if(x)}\mu (\mathrm {d} x)=e^{ia_{\mu }(f)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Cov} _{\mu }(f,f)},\quad f\in E}$

Einzelnachweise

1. Vladimir I. Bogachev: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 1-4704-1869-X. 
2. N. N. Vakhania, V. I. Tarieladze: Covariance Operators of Probability Measures in Locally Convex Spaces. In: Theory of Probability & Its Applications. Band 23, Nr. 1, 1978, S. 11–12, doi:10.1137/1123001. 
3. Charles R. Baker, Ian W. McKeague: Compact Covariance Operators. In: JSTOR (Hrsg.): Proceedings of the American Mathematical Society. Band 83, Nr. 3, 1981, S. 590–593, doi:10.2307/2044126. 

Literatur

• Vladimir I. Bogachev: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 1-4704-1869-X. 
• Giuseppe Da Prato, Jerzy Zabczyk: Stochastic Equations in Infinite Dimensions. Hrsg.: Cambridge University Press. 2014, doi:10.1017/CBO9781107295513. 
• N. N. Vakhania, V. I. Tarieladze, S. A. Chobanyan Vakhania: Probability Distributions on Banach Spaces. In: Springer Dordrecht (Hrsg.): Mathematics and its Applications. Band 14, 1987, S. 144–183, doi:10.1007/978-94-009-3873-1. 
• N. N. Vakhania und V. I. Tarieladze: Covariance Operators of Probability Measures in Locally Convex Spaces. In: Theory of Probability & Its Applications. Band 23, Nr. 1, 1978, doi:10.1137/1123001.