Die Koordinatenebene im zweidimensionalen Raum
Als Koordinatenebene bezeichnet man in der analytischen Geometrie eine von zwei Einheitsvektoren aufgespannte Ursprungsebene . In zwei Dimensionen entspricht die Koordinatenebene der euklidischen Ebene und damit der Grundfläche eines kartesischen Koordinatensystems . Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Koordinatenebenen: die xy-Ebene , die xz-Ebene und die yz-Ebene .
Analytische Geometrie
Bezeichnungen
Die drei Koordinatenebenen im dreidimensionalen Raum
Im Folgenden seien die drei Koordinatenachsen des dreidimensionalen Raums
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
mit
x
1
{\displaystyle x_{1}}
,
x
2
{\displaystyle x_{2}}
und
x
3
{\displaystyle x_{3}}
bezeichnet. Die drei Koordinatenebenen werden häufig mit den Buchstaben
E
{\displaystyle E}
gekennzeichnet, der mit zwei Indizes versehen wird, die die beiden Einheitsvektoren angeben, von denen die Ebene aufgespannt wird:
die
x
1
x
2
{\displaystyle x_{1}x_{2}}
-Ebene
E
12
{\displaystyle E_{12}}
wird von den Vektoren
e
→
1
{\displaystyle {\vec {e}}_{1}}
und
e
→
2
{\displaystyle {\vec {e}}_{2}}
aufgespannt
die
x
1
x
3
{\displaystyle x_{1}x_{3}}
-Ebene
E
13
{\displaystyle E_{13}}
wird von den Vektoren
e
→
1
{\displaystyle {\vec {e}}_{1}}
und
e
→
3
{\displaystyle {\vec {e}}_{3}}
aufgespannt
die
x
2
x
3
{\displaystyle x_{2}x_{3}}
-Ebene
E
23
{\displaystyle E_{23}}
wird von den Vektoren
e
→
2
{\displaystyle {\vec {e}}_{2}}
und
e
→
3
{\displaystyle {\vec {e}}_{3}}
aufgespannt
Hierbei sind die drei Einheitsvektoren
e
→
1
=
(
1
,
0
,
0
)
{\displaystyle {\vec {e}}_{1}=(1,0,0)}
,
e
→
2
=
(
0
,
1
,
0
)
{\displaystyle {\vec {e}}_{2}=(0,1,0)}
und
e
→
3
=
(
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle {\vec {e}}_{3}=(0,0,1)}
. Durch die drei Koordinatenebenen wird der dreidimensionale Raum in acht Oktanten zerlegt. Der Schnitt zweier Koordinatenebenen ergibt eine Koordinatenachse, der Schnitt aller drei Koordinatenebenen den Koordinatenursprung .
Ebenengleichungen
Die drei Koordinatenebenen werden durch die folgenden Ebenengleichungen charakterisiert:
Koordinatenebene
Koordinatenform
Normalenform
Parameterform
Achsenabschnittsform
E
12
{\displaystyle E_{12}}
x
3
=
0
{\displaystyle x_{3}=0}
e
→
3
⋅
x
→
=
0
{\displaystyle {\vec {e}}_{3}\cdot {\vec {x}}=0}
x
→
=
s
e
→
1
+
t
e
→
2
{\displaystyle {\vec {x}}=s\,{\vec {e}}_{1}+t\,{\vec {e}}_{2}}
nicht definiert
E
13
{\displaystyle E_{13}}
x
2
=
0
{\displaystyle x_{2}=0}
e
→
2
⋅
x
→
=
0
{\displaystyle {\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {x}}=0}
x
→
=
s
e
→
1
+
t
e
→
3
{\displaystyle {\vec {x}}=s\,{\vec {e}}_{1}+t\,{\vec {e}}_{3}}
nicht definiert
E
23
{\displaystyle E_{23}}
x
1
=
0
{\displaystyle x_{1}=0}
e
→
1
⋅
x
→
=
0
{\displaystyle {\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {x}}=0}
x
→
=
s
e
→
2
+
t
e
→
3
{\displaystyle {\vec {x}}=s\,{\vec {e}}_{2}+t\,{\vec {e}}_{3}}
nicht definiert
Hierbei sind
x
→
=
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
∈
R
3
{\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}}
ein Punkt der jeweiligen Ebene,
x
→
⋅
y
→
{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}
das Skalarprodukt der Vektoren
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
und
y
→
{\displaystyle {\vec {y}}}
sowie
s
{\displaystyle s}
und
t
{\displaystyle t}
reelle Zahlen.
Darstellende Geometrie
In der darstellenden Geometrie entsprechen die drei Koordinatenebenen häufig der Grundrissebene, der Aufrissebene und der Kreuzrissebene.
Synthetische Geometrie
In der synthetischen Geometrie wird eine affine oder projektive Ebene , der als Koordinatenbereich eine Menge mit einer bestimmten algebraischen Struktur (ein Ternärkörper , Quasikörper , Alternativkörper , Schiefkörper etc.) zugeordnet werden kann, als Koordinatenebene über diesem verallgemeinerten Körper bezeichnet.
Literatur
Wolf-Dieter Klix, Karla Nestler: Konstruktive Geometrie . Hanser, 2001, ISBN 3-446-21566-2 .
Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie . 3. Auflage. Springer, 2007, ISBN 3-540-49328-X .
Weblinks