Kanonischer Divisor

In der Funktionentheorie ist der kanonische Divisor ein Begriff aus der Theorie riemannscher Flächen.

Definition

Sei ${\displaystyle S}$ eine riemannsche Fläche und ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(S)}$ eine meromorphe 1-Form. Der kanonische Divisor von ${\displaystyle \omega }$ ist der Divisor

${\displaystyle (\omega ):=\sum _{x\in S}\operatorname {ord} (\omega ,x)\cdot x}$.

Dabei ist

${\displaystyle \operatorname {ord} (\omega ,x):={\begin{cases}0,&f{\mbox{ holomorph und nicht Null in }}x\\k,&f{\mbox{ hat eine Nullstelle von Ordnung }}k{\mbox{ in }}x\\-k,&f{\mbox{ hat eine Polstelle von Ordnung }}k{\mbox{ in }}x\end{cases}}}$

für eine Darstellung ${\displaystyle \omega =f(z)dz}$ in einer lokalen Koordinate ${\displaystyle z}$. Der Wert von ${\displaystyle \operatorname {ord} (\omega ,x)}$ hängt nur von ${\displaystyle \omega }$ und nicht vom gewählten Koordinatensystem ab.

Für verschiedene meromorphe 1-Formen auf einer riemannschen Fläche ${\displaystyle S}$ erhält man äquivalente kanonische Divisoren, d. h. ihre Differenz ist ein Hauptdivisor. Die Äquivalenzklasse des kanonischen Divisors ${\displaystyle K}$ ist also unabhängig von der gewählten meromorphen 1-Form wohldefiniert.

Eigenschaften

Der Grad ${\displaystyle \operatorname {deg} (K):=\sum _{x}\operatorname {ord} (\omega ,x)}$ des kanonischen Divisors ist ${\displaystyle 2g-2}$, wobei ${\displaystyle g}$ das Geschlecht der riemannschen Fläche ${\displaystyle S}$ ist.

Der Satz von Riemann-Roch stellt für beliebige Divisoren ${\displaystyle D}$ einen Zusammenhang zwischen den Dimensionen der Lösungsräume von ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle K-D}$ her.

Literatur

• Otto Forster: Riemannsche Flächen. (= Heidelberger Taschenbücher 184). Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1.