Schauder wurde gleich nach seinem Abitur 1917 zum Ersten Weltkrieg einberufen, in dem er bald in italienische Kriegsgefangenschaft geriet. 1919 begann er sein Studium in Lwów, 1923 bereits wurde er bei Hugo Steinhaus promoviert. Da er an der Universität keine Stelle bekam, unterrichtete er als Gymnasiallehrer und betrieb seine mathematische Forschung nebenher. 1930 hat er Abhandlungen über Banachräume veröffentlicht (siehe auch Schauderbasis). Ein Stipendium ermöglichte ihm ab 1932 Forschungsreisen nach Leipzig und vor allem Paris, wo eine fruchtbare Zusammenarbeit mit Jean Leray begann. Nach Beginn des Zweiten Weltkrieges und der Besetzung Lwóws durch sowjetische Truppen wurde er schließlich zum Professor an der Universität Lwów ernannt.
Schauder war Jude, und nach dem Einmarsch deutscher Truppen in Lwów war es unmöglich für ihn, seine Arbeit fortzusetzen. Er besaß nicht einmal genügend Papier, um seine letzten Forschungsergebnisse niederzuschreiben, und er wurde 1943 von einer Patrouille der Gestapo ermordet. Seine Ehefrau starb im Konzentrationslager Majdanek bei Lublin, seine Tochter wurde von katholischen Nonnen gerettet und überlebte.