Nach dem Studium der Mathematik in Rostock mit dem Diplom-Abschluss 1975 wurde Kurths 1983 am Zentralinstitut für solar-terrestrische Physik der Akademie der Wissenschaften der DDR in Ost-Berlin promoviert. Danach war er am Zentralinstitut für Astrophysik in Potsdam. 1990/91 war er dort Projektleiter und 1991 habilitierte er sich in theoretischer Physik an der Universität Rostock. In den folgenden Jahren wandelten sich seine Forschungsinteressen von der Analyse astrophysikalischer Zeitreihen zur Theorie komplexer Systeme und nichtlinearer Dynamik („Chaostheorie“) und schließlich zur Erdsystemanalyse. 1992 bis 1996 leitete er die Arbeitsgruppe Nichtlineare Dynamik der Max-Planck-Gesellschaft und 1994 erhielt er eine volle Professur in Theoretischer Physik und Nichtlinearer Dynamik an der Universität Potsdam. Dort war er außerdem 1996 bis 1999 Dekan der mathematisch-naturwissenschaftlichen Fakultät und er war Gründungsdirektor des Leibniz-Kolleg Potsdam. 1994 bis 2008 war er außerdem Gründungsdirektor des Interdisciplinary Center for Dynamics of Complex Systems. Der Senat der Brandenburgischen Technischen Universität Cottbus wählte ihn am 7. Juni 2006 zum neuen Präsidenten der BTU, der die Wahl am 13. Juni 2006 annahm, das Amt allerdings nicht antrat. Er begründete diesen Schritt in einer Pressemitteilung der Universität Potsdam damit, dass das Ministerium für Wissenschaft, Forschung und Kultur in Brandenburg seinen Forderungen nach einer besseren finanziellen Ausstattung der BTU Cottbus nicht entgegenkam. 2008 erhielt er eine Professur für Nichtlineare Dynamik an der Humboldt-Universität Berlin und leitete seit dem den Forschungsbereich transdisziplinäre Konzepte und Methoden (seit 2019 Forschungsabteilung Komplexe Systeme) im Potsdam-Institut für Klimafolgenforschung (PIK), wo er insbesondere die Anwendung der Theorie komplexer Netzwerke in der Erdsystemanalyse vorantrieb. Seit 2009 lehrte er außerdem an der University of Aberdeen. Ab 2021 ist Kurths Senior Advisor am Potsdam-Institut für Klimafolgenforschung (PIK).
Einfluss hatten seine Beiträge zur Erforschung der Synchronisation von komplexen Systemen sowie zur stochastischen Resonanz verrauschter Systeme. Er war von 2000 bis 2005 Vorsitzender der Nonlinear Processes in Geosciences Division der European Geosciences Union (EGU). Auf sein Wirken hin kam das erste deutsch-brasilianische Graduiertenkolleg zur Analyse dynamischer Prozesse in komplexen Netzwerken zustande, dessen Sprecher er auf deutscher Seite ist.
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