Henkelkörper

In der Mathematik sind Henkelkörper 3-dimensionale Gebilde, deren Ränder Flächen sind.

Definition

Eine Vollkugel mit 3 disjunkten Henkeln.

Den Henkelkörper vom Geschlecht ${\displaystyle g}$ erhält man, indem man an eine 3-dimensionale Vollkugel ${\displaystyle g}$ disjunkte Henkel ansetzt.

In Formeln: Sei ${\displaystyle B^{3}}$ eine Vollkugel, seien ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{g}:B^{2}\times \left\{0,1\right\}\rightarrow \partial B^{3}}$ injektive stetige Abbildungen mit disjunkten Bildern, dann definieren wir den Henkelkörper ${\displaystyle H_{g}}$ als Quotienten von

${\displaystyle H_{g}:=(B^{3}\bigcup \cup _{i=1}^{g}(B^{2}\times \left[0,1\right])_{i})/\sim }$

unter der Äquivalenzrelation ${\displaystyle x\sim f_{i}(x)}$ für ${\displaystyle x\in (B^{2}\times \left\{0,1\right\})_{i},i=1,\ldots ,g}$.

${\displaystyle H_{g}}$ ist eine orientierbare 3-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand, ihr Rand ist eine Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle g}$. Die Vollkugel wird als Henkelkörper vom Geschlecht ${\displaystyle g=0}$ bezeichnet.

• 
  ${\displaystyle g=1}$: Volltorus
• 
  ${\displaystyle g=2}$: Vollbrezel
• 
  ${\displaystyle g=3}$

Kompressionskörper

Ein allgemeinerer Begriff, der vor allem in der Theorie der 3-Mannigfaltigkeiten mit Rand Anwendung findet, ist der Begriff des Kompressionskörpers.

Ein Kompressionskörper ${\displaystyle C}$ entsteht aus einem Produkt ${\displaystyle S\times \left[0,1\right]}$, für eine geschlossene Fläche ${\displaystyle S}$, durch Ankleben von 2-Henkeln entlang ${\displaystyle S\times \left\{1\right\}}$. Man bezeichnet ${\displaystyle \partial _{-}C:=S\times \left\{0\right\}}$ und ${\displaystyle \partial _{+}C:=\partial C\setminus \partial _{-}C}$.

Henkelkörper erhält man für ${\displaystyle S=\emptyset }$, in diesem Fall ist ${\displaystyle \partial _{-}C=\emptyset }$.

Literatur

• Bonahon: Geometric structures on 3-manifolds. Handbook of geometric topology, 93–164, North-Holland, Amsterdam, 2002.
• Bonahon: Cobordism of automorphisms of surfaces. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 16 (1983), no. 2, 237–270. pdf
• Lackenby, Purcell: Geodesics and compression bodies pdf
• Oertel: Automorphisms of three-dimensional handlebodies. Topology 41 (2002), no. 2, 363–410. pdf