Nach dem Besuch der Volksschule absolvierte Müthling eine Bürolehre im Gemeindebüro von Altrahlstedt. Danach holte er auf dem zweiten Bildungsweg das Abitur nach. Er nahm ein Studium der Rechts- und Staatswissenschaften auf, legte die Prüfung zum Diplom-Volkswirt ab und erhielt die Befähigung für den höheren Verwaltungsdienst. 1932 wurde er an der Universität Hamburg mit der Arbeit Die wirtschafts- und soziogeographische Bedingtheit der Finanzwirtschaft des Kreises Stormarn zum Doktor der Staatswissenschaften promoviert.
Müthling trat in den höheren Verwaltungsdienst ein, arbeitete zunächst als Kreiskämmerer in Wandsbek und war dort später als Wirtschafts- und Finanzdezernent tätig. 1943 wurde er Landesverwaltungsrat der Provinzialverwaltung Schleswig-Holstein in Kiel.[1] 1950/51 wirkte er als Kommunalreferent beim Bundesministerium des Innern und von 1951 bis 1954 als Stadtkämmerer in Hannover.
Partei
Müthling beantragte am 26. Juni 1937 die Aufnahme in die NSDAP und wurde rückwirkend zum 1. Mai desselben Jahres aufgenommen (Mitgliedsnummer 4.793.983).[2][3] Nach dem Krieg trat er der SPD bei und hatte dort ehrenamtliche Parteiämter auf Bundes- und Landesebene inne.
Müthling war nach 1945 Erster Landesrat der Provinzialverwaltung Schleswig-Holstein mit Sitz in Kiel und wirkte anschließend als Erster Landesdirektor (Staatssekretär) der drei ersten Landesregierungen von Schleswig-Holstein. Von 1955 bis Ende 1965 amtierte er als Oberbürgermeister der Stadt Kiel. Gleichzeitig war er Vizepräsident des Deutschen Städtetages.