Halbeinfache algebraische Gruppe

In der Mathematik sind halbeinfache algebraische Gruppen ein Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Definition

Eine zusammenhängende algebraische Gruppe ${\displaystyle G}$ über einem Körper ${\displaystyle k}$ heißt halbeinfach, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

• der maximale zusammenhängende auflösbare Normalteiler ist ${\displaystyle \left\{1\right\}}$
• ${\displaystyle G}$ hat keinen nichttrivialen zusammenhängenden abelschen Normalteiler.

Beispiele

• Die spezielle lineare Gruppe ${\displaystyle SL_{n}}$ ist halbeinfach.
• Die projektive lineare Gruppe ${\displaystyle PGL_{n}}$ ist halbeinfach.
• Die symplektische Gruppe ${\displaystyle Sp_{2n}}$ ist halbeinfach.
• Nicht halbeinfach sind die allgemeine lineare Gruppe, die multiplikative Gruppe und die Gruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen.

Halbeinfache Lie-Gruppen

Für eine halbeinfache algebraische Gruppe ${\displaystyle G}$ über ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$ ist ${\displaystyle G(\mathbb {C} )}$ eine halbeinfache Lie-Gruppe.

Nicht jede halbeinfache Lie-Gruppe ist eine halbeinfache algebraische Gruppe. Ein Beispiel hierfür ist die universelle Überlagerung von ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$.

Klassifikation

Die Klassifikation halbeinfacher algebraischer Gruppen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist analog zur Klassifikation halbeinfacher komplexer Lie-Gruppen durch Dynkin-Diagramme.

Literatur

• J.E. Humphreys, „Linear algebraic groups“, Springer (1975)
• T.A. Springer, „Linear algebraic groups“, Birkhäuser (1981)

Weblinks

• Semi-simple algebraic group (Encyclopedia of Mathematics)