Föppl-Klammer

Die Föppl-Klammer ist eine von August Föppl eingeführte, vereinfachende Schreibweise vor allem in der Mechanik. Sie wird auch Föppl-Symbol genannt. Gelegentlich wird sie nach dem britischen Mathematiker William Herrick Macaulay auch als Macaulay-Klammer bezeichnet.[1]

Definition

Die Föppl-Klammer ist keine mathematische Schreibweise, sie wurde von Ingenieuren für den Gebrauch in der Technischen Mechanik übernommen.

${\displaystyle \langle x-a\rangle ^{n}={\begin{cases}0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} ~x<a\\(x-a)^{n}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} ~x>a\end{cases}}}$

Dieser Ausdruck bedeutet, dass die Klammer für x-Werte kleiner als ${\displaystyle a}$ 0 ist, und für Werte größer als ${\displaystyle a}$ den Wert einer normalen Klammer ${\displaystyle (x-a)^{n}}$ annimmt. Dabei ist zu beachten, dass die Föppl-Klammer für ${\displaystyle x=a}$ nicht definiert ist. Für Betrachtungen in diesem Punkt sind andere Beschreibungsformen (z. B. das Gleichgewicht am differentiellen Element) nötig; jedoch sind derartige Überlegungen in den meisten Fällen nicht erforderlich.

Insbesondere beschreibt:

${\displaystyle \langle x-a\rangle ^{0}={\begin{cases}0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} ~x<a\\1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} ~x>a\end{cases}}}$

Somit lassen sich Sprünge, z. B. in einem Kraftverlauf, durch Multiplikation der Klammer mit der Kraft (siehe Beispiel) modellieren.

Ableitung und Stammfunktion sind ebenfalls definiert:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\langle x-a\rangle ^{n}=n\langle x-a\rangle ^{n-1}}$

${\displaystyle \int \langle x-a\rangle ^{n}\mathrm {d} x={\frac {1}{n+1}}\langle x-a\rangle ^{n+1}+C}$

Bei der Differentiation und bei der Integration kann das Klammersymbol wie eine runde Klammer angesehen werden.

Verwendung

Die Föppl-Klammer erlaubt es die Kraft- und Momentenverläufe an Biegebalken und Balken in kurzer Form darzustellen. Ohne diese Darstellung wären für jede angreifende Kraft und jedes angreifende Moment eine Fallunterscheidung zu treffen.

Die Exponenten einer Föppl-Klammer sind entsprechend dem Kraft- oder Momentenverlauf zu wählen. Beispiele: Die Flächenbelastung q(x) ist konstant: n=0; eine Kraft oder ein Moment greifen an: n=0; die Flächenbelastung q(x) ist linear: n=1; die Flächenbelastung q(x) ist quadratisch: n=2; die Flächenbelastung q(x) ist kubisch: n=3 usw.

Bei der Berechnung der Querkraft Q(x) durch Integration z. B. bei einer linearen Flächenbelastung q(x) mit n=1 ergibt sich für Q(x) der Exponent n=2 und durch weitere Integration für das Biegemoment M(x) der Exponent n=3.

Beispiel

Ein Balken der Länge l ist in seinen Endpunkten A und D statisch bestimmt gelagert. Er wird im Punkt B durch die Kraft F und im Punkt C durch das Moment M belastet.

Es gilt für den Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittgrößen:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} x}}=-q\qquad {\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}=Q}$

Der Querkraftverlauf (in z-Richtung) folgt der Formel:

• mit Föppl-Klammer:

${\displaystyle Q(x)=-F_{Az}+F\langle x-f\rangle ^{0}}$

Erklärung: Der Querkraftverlauf entspricht links von der Stelle f der negativen Auflagerkraft F_Az, da die Föppl-Klammer bei x < f als Null definiert ist. Rechts von der Stelle f nimmt der Term den Wert 1 an, was dazu führt, dass die Last F in den Querkraftverlauf durch einen Sprung mit einfließt.

• ohne Föppl-Klammer:

${\displaystyle Q(x)={\begin{cases}-F_{Az}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} ~0<x<f\\-F_{Az}+F&\mathrm {f{\ddot {u}}r} ~f<x<l\end{cases}}}$

Der Biegemomentverlauf (um die y-Achse) folgt der Formel:

• mit Föppl-Klammer:

${\displaystyle M_{y}(x)=-F_{Az}x+F\langle x-f\rangle ^{1}+M\langle x-m\rangle ^{0}}$

• ohne Föppl-Klammer:

${\displaystyle M(x)={\begin{cases}-F_{Az}x&\mathrm {f{\ddot {u}}r} ~0<x<f\\-F_{Az}x+F(x-f)&\mathrm {f{\ddot {u}}r} ~f<x<m\\-F_{Az}x+F(x-f)+M&\mathrm {f{\ddot {u}}r} ~m<x<l\end{cases}}}$

Siehe auch

• Sprungklammer
• Heaviside-Funktion

Einzelnachweise

1. D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. Wall: Technische Mechanik 1 -- Statik. 12. Auflage. Springer-Verlag, 2013, S. 198ff .