Eulersche Vermutung

Die Eulersche Vermutung aus dem Jahr 1769 ist eine nach Leonhard Euler benannte Vermutung der Zahlentheorie und verallgemeinert die Fermatsche Vermutung. Die Eulersche Vermutung ist mittlerweile widerlegt, während die Fermatsche Vermutung bewiesen wurde.

Vermutung

Die Eulersche Vermutung besagt, dass es keine positiven ganzzahligen Lösungen ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{k}}$ der Gleichung ${\displaystyle a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\dotsb +a_{k-1}^{n}=a_{k}^{n}}$ gibt, wenn ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle k}$ ganze Zahlen sind mit ${\displaystyle n\geq k\geq 3}$. Fermat bewies angeblich die Vermutung für ${\displaystyle n\geq k=3}$ (Fermatsche Vermutung), veröffentlichte aber nur einen Beweis für ${\displaystyle n=4}$ und ${\displaystyle k=3}$. Euler gab für ${\displaystyle n=k=3}$ einen Beweis an, siehe Großer Fermatscher Satz, für größere ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle k}$ konnte er weder einen Beweis noch ein Gegenbeispiel finden.

Widerlegungen

Fall n = 5

Für den Fall ${\displaystyle n=5}$ fanden L. J. Lander und T. R. Parkin 1966 ein Gegenbeispiel:[1]

${\displaystyle 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}}$

Fall n = 4

Für ${\displaystyle n=4}$ fand Noam Elkies 1988 folgendes Gegenbeispiel:[2]

${\displaystyle 2.682.440^{4}+15.365.639^{4}+18.796.760^{4}=20.615.673^{4}}$

Elkies bewies zudem, dass es für ${\displaystyle n=4}$ unendlich viele Lösungen gibt.

Die kleinste Lösung für ${\displaystyle n=4}$ lautet

${\displaystyle 95.800^{4}+217.519^{4}+414.560^{4}=422.481^{4}}$.

Diese Minimallösung wurde nach der Publikation der ersten Lösung durch Elkies von Roger Frye gefunden.[3][4]

Verwandte Fragestellung

Zusammen mit seiner Vermutung äußerte Euler zudem, dass es möglich sein sollte, vier 4. Potenzen zu finden, deren Summe eine 4. Potenz ergibt. Diese Vermutung wurde 1911 durch R. Norrie positiv beantwortet:

${\displaystyle 30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}=353^{4}}$

Für diese allgemeine Form

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=e^{4}}$

wurde 2008 von Lee W. Jacobi und Daniel J. Madden gezeigt, dass sie unendlich viele positive ganzzahlige Lösungen hat. Es wurde auch eine besonders ästhetische Lösung der Form

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$

in ganzen Zahlen gefunden:[5][6]

${\displaystyle 955+1770+(-2634)+5400=5491}$

${\displaystyle 955^{4}+1770^{4}+(-2634)^{4}+5400^{4}=5491^{4}}$

Diese Gleichung nennt man auch Jacobi-Madden-Gleichung.

Literatur

• Richard K. Guy: Unsolved problems in number theory. Springer, New York 1994, ISBN 0-387-94289-0.
• Ian Stewart, David Tall: Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem. 3. Auflage. A K Peters, Natick MA 2002, ISBN 1-56881-119-5. 

Weblinks

• Tito Piezas III: A Collection of Algebraic Identities.
• Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers. EulerNet
• Jaroslaw Wroblewski: Equal Sums of Like Powers.
• Eric W. Weisstein: Euler’s Sum of Powers Conjecture. In: MathWorld (englisch).
• Ivars Peterson: Euler’s Sums of Powers. In: ScienceNews, 2004, Seite nicht mehr abrufbar, Archivlink abgerufen am 1. März 2022

Einzelnachweise

1. L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Eulers’s conjecture on sums of like powers. In: Bull. Amer. Math. Soc. Band 72, 1966, S. 1079.
2. Noam Elkies: On ${\displaystyle A^{4}+B^{4}+C^{4}=D^{4}}$. In: Math. Comput. Band 51, 1988, S. 825–835.
3. Ian Stewart, David Tall: Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem. 3. Auflage. A. K. Peters, Natick MA 2002, ISBN 1-56881-119-5, S. 232. 
4. Ivars Peterson: Euler’s Sums of Powers. (Memento vom 1. Dezember 2012 im Internet Archive) In: ScienceNews, 2004.
5. American Mathematical Monthly. März 2008.
6. Variationen zu einer Vermutung Eulers. In: Neue Zürcher Zeitung. 14. Mai 2008, ISSN 0376-6829 (nzz.ch [abgerufen am 18. Februar 2024]).