Dyadische Elementarzellen

Die Menge der dyadischen Elementarzellen ist eine Partitionierung des p-dimensionalen Raumes.

Definition

Mit

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{n,\,(k_{1},\ldots ,k_{p})}:=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{p})\in \mathbb {R} ^{p}:{\frac {k_{i}}{2^{n}}}\leq x_{i}<{\frac {k_{i}+1}{2^{n}}}\right\},\;k_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} }$

definiert man einen halboffenen Würfel im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$, der die Kantenlänge ${\displaystyle 2^{-n}}$ hat.[1]

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{n}}$ bezeichnet die Menge der dyadischen Elementarzellen der Ordnung ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{n}:=\left\{{\mathcal {W}}_{n,\,(k_{1},\ldots ,k_{p})}:k_{i}\in \mathbb {Z} \right\},\;n\in \mathbb {N} \;.}$

Elementarzellen selber Ordnung sind also disjunkt und voneinander durch ein Gitter getrennt.

Die Menge aller dyadischen Elementarzellen im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ wird dann mit ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ bezeichnet:

${\displaystyle {\mathcal {D}}:=\left\{{\mathcal {W}}_{n,\,(k_{1},\ldots ,k_{p})}:k_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}\;.}$

Die Menge der Eckpunkte der dyadischen Elementarzellen ${\displaystyle \left\{({\tfrac {k_{1}}{2^{n}}},\ldots ,{\tfrac {k_{p}}{2^{n}}}):k_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}}$ wird das dyadische Gitter genannt.[2]

Bedeutung

Die Menge ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ der dyadischen Elementarzellen ist ein Halbring und erzeugt die Borelsche σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$. Da ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ abzählbar ist, ist ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ eine separable σ-Algebra.

Beispiele

• ${\displaystyle p=1}$: Elementarzellen sind halboffene Intervalle.
• ${\displaystyle p=2}$: Elementarzellen sind Quadrate.
• ${\displaystyle p=3}$: Elementarzellen sind Würfel.

Einzelnachweise

1. Dieter Baum: Grundlagen der Warteschlangentheorie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-39632-8, S. 48 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
2. Alexei Alexandrov, Anton Baranov, Sergey Kislyakov: Linear and Complex Analysis: Dedicated to V.P. Havin on the Occasion of His 75th Birthday. American Mathematical Soc., 2009, ISBN 978-0-8218-9078-3, S. 180 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).