Durchmesserstarrheit

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet Durchmesserstarrheit oder Cheng's Durchmesserstarrheitssatz eine Eigenschaft riemannscher Mannigfaltigkeiten mit maximal möglichem Durchmesser bei gegebenen Krümmungsschranken.

Es sei ${\displaystyle (M,g)}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit mit Ricci-Krümmung ${\displaystyle Ric\geq (n-1)kg}$ mit ${\displaystyle k>0}$. (Diese Bedingung ist zum Beispiel erfüllt, wenn die Schnittkrümmung mindestens ${\displaystyle k}$ ist.) Nach dem Satz von Myers ist dann der Durchmesser von ${\displaystyle M}$ höchstens ${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$.

Der Durchmesserstarrheitssatz von Cheng besagt dann:

Wenn der Durchmesser von ${\displaystyle M}$ gleich ${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$ ist, dann ist ${\displaystyle M}$ eine Sphäre konstanter Schnittkrümmung.

Literatur

• Shiu-Yuen Cheng: Eigenvalue comparison theorems and its geometric applications. Math. Z. 143, 289–297 (1975).