Dritter Lemoinescher Kreis

Schnittpunkte ${\displaystyle P_{a}}$,${\displaystyle P_{b}}$,${\displaystyle P_{c}}$, ${\displaystyle Q_{a}}$,${\displaystyle Q_{a}}$ und ${\displaystyle Q_{c}}$ liegen auf dem dritten Lemoine-Kreis mit Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ (rot). ${\displaystyle K}$ ist der Lemoine-Punkt und ${\displaystyle O}$ der Mittelpunkt des Umkreises von ${\displaystyle \triangle ABC}$.

Der dritte Lemoinesche Kreis eines Dreiecks ist einer der besonderen Kreise der Dreiecksgeometrie. Wie der erste und zweite Lemoinesche Kreis ist er ein Spezialfall eines Tucker-Kreises. Er ist nach dem französischen Mathematiker Émile Lemoine (1840–1912) benannt, wurde aber erst 2002 von Jean-Pierre Ehrmann entdeckt.

Definition

Betrachtet man bei einem Dreieck ${\displaystyle \triangle ABC}$ mit Lemoinepunkt ${\displaystyle K}$ die Umkreise der Teildreiecke ${\displaystyle \triangle ABK}$, ${\displaystyle \triangle BCK}$ und ${\displaystyle \triangle ACK}$, dann schneiden sie die verlängerten Dreiecksseiten von ${\displaystyle \triangle ABC}$ in je zwei weiteren Punkten. Das heißt, der Umkreis von ${\displaystyle \triangle ABK}$ schneidet ${\displaystyle AC}$ in ${\displaystyle Q_{b}}$ und ${\displaystyle BC}$ in ${\displaystyle P_{a}}$, der Umkreis von ${\displaystyle \triangle BCK}$ schneidet ${\displaystyle AB}$ in ${\displaystyle Q_{c}}$ und ${\displaystyle AC}$ in ${\displaystyle P_{b}}$ und der der Umkreis von ${\displaystyle \triangle ACK}$ schneidet ${\displaystyle AB}$ in ${\displaystyle P_{c}}$ und ${\displaystyle BC}$ in ${\displaystyle Q_{a}}$. Diese sechs Schnittpunkte ${\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c},Q_{a},Q_{a},Q_{c}}$ haben die Eigenschaft auf einem gemeinsamen Kreis zu liegen, dieser Kreis wird als dritter Lemoine-Kreis bezeichnet.

Eigenschaften

Der Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ des dritten Lemoine-Kreises liegt auf der Verbindungsgeraden zwischen dem Lemoine-Punkt ${\displaystyle K}$ und dem Umkreismittelpunkt ${\displaystyle O}$ des Dreiecks ${\displaystyle \triangle ABC}$, zudem ist der Abstand zwischen Umkreismittelpunkt ${\displaystyle O}$ und Lemoinepunkt ${\displaystyle K}$ doppelt so groß wie der Abstand zwischen Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ und Lemoinepunkt${\displaystyle K}$.

${\displaystyle |OK|=2\cdot |MK|}$

Verwendet man orientierte Abstände oder Vektoren, so gilt:

${\displaystyle {\vec {KM}}=-{\frac {1}{2}}{\vec {KO}}}$

Der dritte Lemoine-Kreis ist ein Tucker-Kreis.

Literatur

• Darij Grinberg: Ehrmann's Third Lemoine Circle. In: Journal of Classical Geometry 1, 2012, S. 40–52.
• Sandor Nagydobai Kiss, Paul Yiu: On the Tucker Circles. In: Forum Geometricorum, Band 17 (2017), S. 157–175 (Digitalisat)

Weblinks

Commons: Lemoinesche Kreise – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien