Der Sohn einer adligen Familie studierte am Seminar von Spoleto und dann am Päpstlichen Priesterseminar St. Apollinaris, wo er zum Doktor der Theologie und beider Rechte promovierte. Sein Onkel Enea Sbarretti wurde im Jahre 1877 zum Kardinal erhoben, zwei Jahre bevor Sbarretti Tazza im Alter von 22 Jahren zum Priester geweiht wurde.
Am 16. September 1901 erfolgte seine Rangerhöhung zum Titularerzbischof von Gortyna und die Ernennung zum außerordentlichen Apostolischen Delegaten auf den Philippinen, damals noch US-Kolonie, um das Problem mit der Unabhängigen Philippinischen Kirche zu verhandeln. Die US-Regierung wollte jedoch dieses Problem mit ihren eigenen Verhandlungen beim Heiligen Stuhl unter William Howard Taft lösen und erklärte ihn zur persona non grata, sodass er nicht nach Manila reisen konnte. Am 16. Dezember desselben Jahres wechselte Sbarretti Tazza zum Titularerzbistum Ephesus.
Am 26. Dezember 1902 folgte seine Ernennung zum Apostolischen Delegaten in Kanada und zusätzlich Anfang 1910 zum Apostolischen Delegaten in Neufundland. Er unternahm von September 1906 bis Juni 1907 eine lange Reise nach Europa. Nachdem er am 7. April 1910 nach Rom gereist war, um die Dekrete der Ersten Vollversammlung des Rates der Québec zu präsentieren, kehrte er nie nach Kanada zurück. Seinen Rücktritt erklärte er am 3. November 1910, nachdem ihn Papst Pius X. am 29. Oktober 1910 zum Sekretär der Kongregation für die Ordensleute berufen hatte.
Kardinal Sbaretti erlitt in der Nacht zum 1. April 1939 einen Herzinfarkt und sein Diener fand ihn morgens tot im Bett, als er ihn wecken wollte. Der Sohn des Landbesitzers Agostino Donato Flavio Sbarretti und seiner Frau Caterina Tazza wurde vorübergehend in der Friedhofskirche seiner Heimatstadt Montefranco bestattet und später entsprechend seinem Willen in die dortige Pfarrkirche überführt.