3D-Ansicht eines Deltoidalhexakontaeders (Animation ) Drahtgittermodell eines DeltoidalhexakontaedersDas Deltoidalhexakontaeder (auch Deltoidhexakontaeder genannt) ist ein konvexes Polyeder , das sich aus 60 Deltoiden zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Rhombenikosidodekaeder und hat 62 Ecken sowie 120 Kanten.
Entstehung
Konstruktion des Deltoids am Rhombenikosidodekaeder Durch Verbinden der Mittelpunkte vierer Kanten, die in jeder Raumecke des Rhombenikosidodekaeders zusammenstoßen, entsteht ein Trapez , dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Deltoids, der Begrenzungsfläche des Deltoidalhexakontaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 154°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius .
Sei
d
{\displaystyle d}
a
=
d
3
25
−
5
5
{\displaystyle a=\,{\frac {d}{3}}\,{\sqrt {25-5{\sqrt {5}}}}}
b
=
d
11
5
(
85
−
31
5
)
{\displaystyle b=\,{\frac {d}{11}}\,{\sqrt {5\,(85-31{\sqrt {5}})}}}
Die Seitenlängen des Deltoids stehen somit im folgenden Verhältnis zueinander:[ 1]
3
a
(
7
−
5
)
=
22
b
{\displaystyle 3a\,(7-{\sqrt {5}})=22b}
Verwandte Polyeder
Netz des Deltoidalhexakontaeders
Größen eines Deltoidalhexakontaeders mit Kantenlänge a
Volumen
V
=
45
11
a
3
370
+
164
5
25
{\displaystyle V={\frac {45}{11}}\,a^{3}{\sqrt {\frac {370+164{\sqrt {5}}}{25}}}}
Oberflächeninhalt
A
O
=
9
11
a
2
10
(
157
+
31
5
)
{\displaystyle A_{O}={\frac {9}{11}}\,a^{2}{\sqrt {10\,(157+31{\sqrt {5}})}}}
Inkugelradius
ρ
=
3
2
a
135
+
59
5
205
{\displaystyle \rho ={\frac {3}{2}}\,a\,{\sqrt {\frac {135+59{\sqrt {5}}}{205}}}}
Kantenkugelradius
r
=
3
20
a
(
5
+
3
5
)
{\displaystyle r={\frac {3}{20}}\,a\,(5+3{\sqrt {5}})}
Flächenwinkel
cos
α
=
−
1
41
(
19
+
8
5
)
{\displaystyle \cos \,\alpha =-{\frac {1}{41}}\,(19+8{\sqrt {5}})}
3D-Kantenwinkel
cos
γ
=
−
2
5
5
{\displaystyle \cos \,\gamma =-{\frac {2}{5}}{\sqrt {5}}}
Sphärizität
Ψ
=
2
11
π
(
185
+
82
5
)
3
10
(
157
+
31
5
)
{\displaystyle \Psi ={\frac {2\,{\sqrt[{3}]{11\,\pi \left(185+82{\sqrt {5}}\right)}}}{\sqrt {10\left(157+31{\sqrt {5}}\right)}}}}
Größen im Drachenviereck
Größen des Drachenvierecks
Flächeninhalt
A
=
3
22
a
2
157
+
31
5
10
{\displaystyle A={\frac {3}{22}}\,a^{2}{\sqrt {\frac {157+31{\sqrt {5}}}{10}}}}
2. Seitenlänge
b
=
3
22
a
(
7
−
5
)
{\displaystyle b={\frac {3}{22}}\,a\,(7-{\sqrt {5}})}
Kurze Diagonale
e
=
3
a
5
−
5
20
{\displaystyle e=3a\,{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}}
Lange Diagonale
f
=
a
11
470
+
156
5
5
{\displaystyle f={\frac {a}{11}}{\sqrt {\frac {470+156{\sqrt {5}}}{5}}}}
Inkreisradius
r
=
3
10
a
5
(
17
+
5
5
)
82
{\displaystyle r={\frac {3}{10}}\,a\,{\sqrt {\frac {5\,(17+5{\sqrt {5}})}{82}}}}
Seitenwinkel (2)
cos
α
=
1
10
(
5
−
2
5
)
{\displaystyle \cos \,\alpha ={\frac {1}{10}}\,(5-2{\sqrt {5}})}
Fußwinkel (1)
cos
β
=
1
40
(
9
5
−
5
)
{\displaystyle \cos \,\beta ={\frac {1}{40}}\,(9{\sqrt {5}}-5)}
Kopfwinkel (1)
cos
γ
=
−
1
20
(
5
+
2
5
)
{\displaystyle \cos \,\gamma =-{\frac {1}{20}}\,(5+2{\sqrt {5}})}
Anmerkungen
↑ Mit a sei die längere der beiden Seiten bezeichnet.
Weblinks
![{\displaystyle \Psi ={\frac {2\,{\sqrt[{3}]{11\,\pi \left(185+82{\sqrt {5}}\right)}}}{\sqrt {10\left(157+31{\sqrt {5}}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12436fbcc7f327cd39e67691a8b03e4249098b72)
