Burali-Forti-Paradoxon

Das Burali-Forti-Paradoxon ist das älteste Paradoxon der naiven Mengenlehre, publiziert am 28. März 1897. Es beschreibt den Widerspruch, an dem die Bildung der Menge aller Ordinalzahlen scheitert. Es ist nach seinem Entdecker Cesare Burali-Forti benannt, der zeigte, dass eine solche Menge aller Ordinalzahlen selbst einer Ordinalzahl ${\displaystyle \,\Omega }$ entspräche, zu der eine größere Nachfolger-Ordinalzahl ${\displaystyle \,\Omega +1}$ gebildet werden könnte, die kleiner oder gleich ${\displaystyle \,\Omega }$ wäre, woraus die unmögliche Ungleichung ${\displaystyle \Omega <\Omega +1\leq \Omega }$ folgte.

Georg Cantor beschrieb das Paradoxon erst im Jahr 1899 als Verallgemeinerung der ersten Cantorschen Antinomie, mit der er nachwies, dass die Klasse aller Kardinalzahlen keine Menge ist.[1] Diese Klasse kann als echte Teilklasse der Ordinalzahlen aufgefasst werden.

In der axiomatischen Zermelo-Mengenlehre oder Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) lässt sich das Burali-Forti-Paradoxon als Beweis dafür verstehen, dass keine Menge aller Ordinalzahlen existiert. In Mengenlehren, die mit Klassen arbeiten, liefert es den Beweis dafür, dass die Klasse aller Ordinalzahlen eine echte Klasse ist.

Siehe auch

• Russellsche Antinomie

Literatur

• C. Burali-Forti: Una questione sui numeri transfiniti. In: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Bd. 11, 1897, ISSN 0009-725X, S. 154–164, Digitalisat. Englische Übersetzung: A question on transfinite numbers. In: Jean van Heijenoort: From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard University Press, Cambridge MA u. a. 1967, S. 104–112.
• Unendlich (plus eins). Hilbert Hotel, Russells Barbier, Peanos Himmelsleiter, Cantors Diagonale, Plancks Konstante. (= Spektrum der Wissenschaft. Spezial 2, 2005). Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft, Heidelberg, ISBN 3-938639-08-3, S. 36.

Weblinks

Wikibooks: Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: echte Klasse – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

1. Brief vom 3. August 1899 an Richard Dedekind in:Georg Cantor: Briefe. Herausgegeben von Herbert Meschkowski und Winfried Nilson. Springer, Berlin u. a. 1991, ISBN 3-540-50621-7, S. 408. Oft werden frühere Jahreszahlen genannt, für die aber keinerlei Quellenbelege existieren.