Bogoliubov-Ungleichung

Als Bogoliubov-Ungleichung werden zwei Ungleichungen bezeichnet, die beide sehr allgemeine Aussagen in der statistischen Physik machen. Die erste so bezeichnete Ungleichung ist eher abstrakt und setzt einen mit zwei Operatoren, A bzw. C, gebildeten Ausdruck (einen Erwartungswerten von quantenmechanischen Operatoren im thermischen Gleichgewicht) in Beziehung zu einem Produkt aus zwei mit den separaten Operatoren gebildeten Korrelationsfunktionen. Veröffentlicht wurde die Ungleichung 1962[1] von dem russischen Physiker und Mathematiker Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow. Variante 2 ist konkreter: sie betrifft die Freie Energie eines thermodynamischen Systems und ihre verschiedenen Näherungen und ist allgemeiner bekannt (siehe viele Standard-Lehrbücher der Statistischen Physik).

Inhalt der Variante 1

Betrachtet wird ein physikalisches System, beschrieben mittels eines Hamiltonoperators ${\displaystyle H}$. Dann gilt für zwei Operatoren ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle C}$ (für die die angegebenen Mittelwerte existieren, die aber ansonsten beliebig sind):

${\displaystyle |\langle [A,C]\rangle |^{2}\leq {\frac {\beta }{2}}\langle \{A,A^{\dagger }\}\rangle \cdot \langle [C^{\dagger },[H,C]]\rangle \qquad {\text{mit}}\qquad \beta ={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}}$

wobei ${\displaystyle [A,C]}$ als Kommutator bzw. ${\displaystyle \{A,A^{\dagger }\}}$ als Anti-Kommutator zu verstehen sind, sowie der Erwartungswert eines Operators ${\displaystyle X}$ als

${\displaystyle \langle X\rangle ={\text{Sp}}(e^{-\beta H}X)/{\text{Sp}}(e^{-\beta H})}$

gegeben ist. ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ ist die Boltzmann-Konstante. Der (ursprüngliche) Beweis des Mermin-Wagner-Theorems, eines Fundamentaltheorems über die Unmöglichkeit geordneter zweidimensionaler Ferromagnete (bzw. Supraleiter bzw. Kristalle) bei isotroper Wechselwirkung, beruht hauptsächlich auf dieser Ungleichung.[2]

Beweisidee

Der Beweis der Bogoliubov-Ungleichung basiert darauf, dass über

${\displaystyle (A,B):=\sum _{nm}^{E_{n}\neq E_{m}}\langle n|A^{\dagger }|m\rangle \langle m|B|n\rangle {\frac {e^{-\beta E_{m}}-e^{-\beta E_{n}}}{E_{n}-E_{m}}}}$

ein positiv semi-definites Skalarprodukt definiert werden kann. Als Skalarprodukt erfüllt es die Schwarzsche Ungleichung:

${\displaystyle |(A,B)|^{2}\leq (A,A)\cdot (B,B)}$

Betrachtet man nun ${\displaystyle B=[C^{\dagger },H]}$ so erhält man die Ungleichung.

Variante 2

Eine andere Beziehung ist ebenfalls als Bogoliubov'sche Ungleichung bekannt,[3] aber allgemeiner anwendbar, z. B. bei der Approximation der sog. Freien Energie ${\displaystyle F}$ eines beliebigen thermodynamischen Systems durch Näherungsverfahren, z. B. durch eine Molekularfeld-Näherung. Diese ebenfalls als "Bogoliubov'sche Ungleichung" bezeichnete Beziehung beruht darauf, dass in solchen Fällen der Hamiltonoperator ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ des Systems durch eine Näherung ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$ ersetzt wird. Es gilt dann die Beziehung

${\displaystyle F\leq F_{0}+\langle {\mathcal {H}}-{\mathcal {H}}_{0}\rangle _{0}\,,}$

wobei auf der rechten Seite dieser Ungleichung alle Erwartungswerte konsequent mit dem Näherungsoperator zu berechnen sind, z. B. ${\displaystyle \langle X\rangle _{0}={\frac {{\rm {{Spur}\,\,}}(e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}}X)}{{\rm {Spur}}\,\,e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}}}}\,.}$ Die freie Energie ist im Weiteren der Logarithmus der Zustandssumme, ${\displaystyle F=-\beta ^{-1}\ln {\rm {{Spur}\,\,e^{-\beta {\mathcal {H}}}}}\,.}$ Das Multiplikationszeichen, ${\displaystyle \cdot \,,}$ ist jetzt durch das Summenzeichen, +, ersetzt, was wegen des logarithmischen Charakters der Freien Energie sachgemäß ist (${\displaystyle \ln a\cdot b=\ln a+\ln b}$).

Ein Beweis der Variante 2 findet sich in dem angegebenen Artikel. Beide Varianten beruhen auf ähnlichen Ideen.

Literatur

• Nolting: Quantentheorie des Magnetismus, Teubner, Bd. 2

Quellen

1. N. N. Bogoliubov, Physik. Abhandl. Sowjetunion 6, 1, 113, 229 (1962).
2. Mermin, Wagner Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in 1 or 2 dimensional isotropic Heisenberg models, Physical Review Letters, Bd. 17, 1966, S. 1133.
3. siehe z. B. die englische Wikipedia im Artikel Helmholtz_free_energy#Bogoliubov_inequality.