Binomial-Prozess

Als Binomial-Prozesse bezeichnet man eine spezielle Klasse von Punktprozessen in der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Binomial-Prozesse sind den Poisson-Prozessen ähnlich, jedoch ist die Anzahl der Ereignisse pro Intervall binomialverteilt und nicht Poisson-verteilt.

Definition

Gegeben sei eine ganze Zahl ${\displaystyle n}$ und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle P}$ auf einem Messraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ sowie ${\displaystyle n}$ unabhängig, identisch und gemäß ${\displaystyle P}$ verteilte Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$. Es gilt also ${\displaystyle X_{i}\sim P}$ für alle ${\displaystyle i}$. Des Weiteren bezeichne ${\displaystyle \delta _{x}}$ das Dirac-Maß auf dem Punkt ${\displaystyle x}$, also

${\displaystyle \delta _{x}(A):={\begin{cases}1&{\text{ falls }}x\in A\ \\0&{\text{ sonst }}\end{cases}}}$

für ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$.

Dann heißt das durch

${\displaystyle \zeta :=\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}}}$

definierte zufällige Maß ${\displaystyle \zeta }$ auf ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ein Binomial-Prozess.

Bemerkung

Für jede messbare Menge ${\displaystyle A}$ gilt per Definition

${\displaystyle \zeta (A)=\#\{i\mid X_{i}\in A\}}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \#M}$ die Mächtigkeit der Menge ${\displaystyle M}$, also die Anzahl ihrer Elemente. Der Prozess zählt somit, wie viele der ${\displaystyle n}$ Zufallsvariablen Werte in der Menge ${\displaystyle A}$ annehmen. Somit ist für jede messbare Menge ${\displaystyle A}$ die Zufallsvariable ${\displaystyle \zeta (A)}$ immer binomialverteilt mit Parametern ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle P(A)}$, es gilt also

${\displaystyle \zeta (A)\sim \operatorname {Bin} _{n,P(A)}}$.

Eigenschaften

Zugehöriger Sprungprozess

Im reellen Fall, also für ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ ist der zum Punktprozess gehörende Sprungprozess gegeben durch

${\displaystyle X_{t}:=\zeta ((-\infty ,t])=\#\{i\mid X_{i}\leq t\}}$.

Er gibt an, wie viele der Zufallsvariablen Werte kleinergleich ${\displaystyle t}$ annehmen.

Laplace-Transformierte

Die Laplace-Transformation eines Binomial-Prozesses ist gegeben durch

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{P,n}(f)=\left[\int \exp(-f(x))\mathrm {P} (dx)\right]^{n}}$

für alle messbaren positiven Funktionen ${\displaystyle f}$.

Intensitätsmaß

Das Intensitätsmaß ${\displaystyle \operatorname {E\zeta } }$ eines Binomial-Prozesses ${\displaystyle \zeta }$ ist gegeben durch

${\displaystyle \operatorname {E\zeta } =nP}$.

Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung der Binomial-Prozesse sind gemischte Binomial-Prozesse. Dabei wird die bei Binomial-Prozessen deterministische Anzahl der Zufallsvariablen ${\displaystyle n}$ durch eine Zufallsvariable ersetzt.

Literatur

• Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.