Auslander-Reiten-Köcher

Der Auslander-Reiten-Köcher – benannt nach Maurice Auslander (1926–1994) und Idun Reiten (* 1942) – ist ein Translationsköcher, der zur kombinatorischen Beschreibung von abelschen Kategorien benutzt wird. Eingeführt wurde er ursprünglich, um die Kategorie der Darstellungen eines Köchers oder – allgemeiner – von Moduln über Artin-Algebren zu beschreiben.

Definition für die Kategorie der Darstellungen eines Köchers

Sei ${\displaystyle k}$ ein Körper und ${\displaystyle Q}$ ein azyklischer Köcher. Sei ${\displaystyle C}$ die Kategorie der Darstellungen des Köchers über dem Körper ${\displaystyle k}$. Dann sind die Punkte des Auslander-Reiten-Köchers ${\displaystyle \Gamma _{C}}$ die Isomorphieklassen der unzerlegbaren Darstellungen in ${\displaystyle C}$. Zwischen zwei Punkten ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ sind die Pfeile wie folgt definiert: Aus ${\displaystyle x}$ wähle einen Repräsentanten ${\displaystyle X}$ und aus ${\displaystyle y}$ einen Repräsentanten ${\displaystyle Y}$. Die Pfeile von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle Y}$ bilden eine Basis des Raumes der irreduziblen Abbildungen von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle Y}$. Die Translation ${\displaystyle \tau }$ ist eine Abbildung einer Teilmenge der Punkte in ${\displaystyle \Gamma _{C}}$ in die Menge der Punkte ${\displaystyle \Gamma _{C}}$. Für jeden Punkt ${\displaystyle z}$, dessen Elemente nicht projektiv sind, gibt es eine Auslander-Reiten-Folge (fast zerfallende, kurze exakte Folge) der Form ${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$ mit ${\displaystyle Z\in z}$. Dann ist ${\displaystyle \tau (z)=x}$.

Entsprechend gibt es auch für jeden Punkt ${\displaystyle x}$, dessen Elemente nicht injektiv sind, eine Auslander-Reiten-Folge der Form ${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$ mit ${\displaystyle X\in x}$.

Erläuterungen

Der Auslander-Reiten-Köcher liefert auf Grund des Satzes von Krull-Remak-Schmidt (jede nicht-triviale Darstellung eines Köchers ist die direkte Summe von unzerlegbaren Darstellungen) eine Beschreibung der Objekte in der Kategorie ${\displaystyle C}$.

Falls ${\displaystyle C}$ darstellungsendlich ist, lässt sich jede nicht-triviale Abbildung als Komposition endlich vieler irreduzibler Abbildungen zerlegen. Daher liefert in diesem Fall der Auslander-Reiten-Köcher auch eine Beschreibung der Morphismen.

Literatur

• M. Auslander, I. Reiten: Representation theory of artin algebras III. Almost split sequences, Comm. Algebra 3 (1975), 239–294
• M. Auslander, I. Reiten, S. O. Smalø: Representation theory of artin algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 36, Cambridge University Press (1994)
• Karsten Schmidt: Auslander-Reiten theory for simply connected differential graded algebras. Dissertation, Universität Paderborn 2007