Animation der Astroide Animation Astroide als Hüllkurve Astroide als Hüllkurve einer Familie von Ellipsen, bei denen a + b = const. Die Astroide (auch Sternkurve genannt) ist eine ebene Kurve , die sich
mit einem Parameter
t
∈
[
0
,
2
π
]
{\displaystyle t\in [0,2\pi ]}
[ 1]
x
=
a
(
cos
t
)
3
{\displaystyle x=a(\cos t)^{3}\ }
y
=
a
(
sin
t
)
3
{\displaystyle y=a(\sin t)^{3}\ }
oder durch die implizite Gleichung
x
2
3
+
y
2
3
=
a
2
3
{\displaystyle x^{\frac {2}{3}}+y^{\frac {2}{3}}=a^{\frac {2}{3}}\,}
[ 1]
(
x
2
+
y
2
−
a
2
)
3
+
27
a
2
x
2
y
2
=
0
{\displaystyle \quad (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0}
beschreiben lässt.
a
{\displaystyle a}
reelle Zahl . Sie ist die Kurve, die ein Punkt auf einem Kreis mit Radius
1
4
a
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}a}
a
{\displaystyle a}
Hypozykloide .
Für ihren Flächeninhalt
A
{\displaystyle A}
[ 1]
A
=
3
8
π
a
2
{\displaystyle A={\frac {3}{8}}\pi a^{2}}
Die Länge
ℓ
{\displaystyle \ell }
ℓ
=
6
a
{\displaystyle \ell =6a}
[ 1]
0
≤
t
≤
π
2
{\displaystyle 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}}
Bogenlänge
s
(
t
)
=
3
2
a
sin
2
(
t
)
{\displaystyle s(t)={\frac {3}{2}}a\sin ^{2}(t)}
und für den Krümmungsradius
ρ
(
t
)
=
3
2
a
sin
(
2
t
)
{\displaystyle \rho (t)={\frac {3}{2}}a\sin(2t)}
Die Astroide ähnelt auch dem Karo auf gewöhnlichen Spielkarten.
Schwerpunkt
Schwerpunkte der Astroiden
Intervall
x
S
{\displaystyle x_{\mathrm {S} }}
y
S
{\displaystyle y_{\mathrm {S} }}
Ebenes Kurvenstück
0 ≤ t ≤
π
2
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}
2
5
a
{\displaystyle {\tfrac {2}{5}}a}
2
5
a
{\displaystyle {\tfrac {2}{5}}a}
0 ≤ t ≤
π
{\displaystyle \pi }
0
2
5
a
{\displaystyle {\tfrac {2}{5}}a}
Ebene Figur
0 ≤ t ≤
π
2
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}
256
315
π
a
{\displaystyle {\tfrac {256}{315\pi }}a}
256
315
π
a
{\displaystyle {\tfrac {256}{315\pi }}a}
0 ≤ t ≤
π
{\displaystyle \pi }
0
256
315
π
a
{\displaystyle {\tfrac {256}{315\pi }}a}
Drehkörper *
0 ≤ t ≤
π
2
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}
21
128
a
{\displaystyle {\tfrac {21}{128}}a}
0
*Bei Rotation um die X-Achse
(
z
S
=
0
)
{\displaystyle (z_{S}=0)}
Schiefe Astroide
Eine Verallgemeinerung ist die schiefe Astroide, die sich durch die Parametergleichungen
x
=
a
(
cos
t
)
3
{\displaystyle x=a(\cos t)^{3}\ }
y
=
b
(
sin
t
)
3
{\displaystyle y=b(\sin t)^{3}\ }
oder durch die implizite Gleichung
(
x
a
)
2
3
+
(
y
b
)
2
3
=
1
{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{\frac {2}{3}}=1}
beschreiben lässt. Die Evolute einer Ellipse ist ebenfalls eine schiefe Astroide.
Siehe auch
Einzelnachweise
↑ a b c d Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik . 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1 , S. 105 .
Weblinks
![{\displaystyle t\in [0,2\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dbc9ed8510c75442ce1d2e73f021258fc7e04c6)
