Anton war Sohn von Nikolaus I. Joseph Esterházy de Galantha und Marie Elisabeth Ungnad Gräfin von Weissenwolf. Am 10. Januar 1763 ehelichte er die Gräfin Maria Theresia Erdődy von Monyorókerék und Monoszló. Sie war die Tochter von Graf Nikolaus Erdődy von Monyorókerék und Monoszló und der Maria Antonia, geb. Gräfin Batthyány-Strattmann. Maria Theresia verstarb aber bereits am 1. Mai 1782 in Wien. Am 9. August 1785 schloss Anton die zweite Ehe mit der erst siebzehnjährigen Gräfin Maria Anna von Hohenfeld, der Tochter von Graf Otto Franz von Hohenfeld und der Maria Anna, geb. Freiin vom Stain zu Jettingen.
Als Anton 1790 seinem Vater als Majoratsherr folgte, sah er sich mit einem Schuldenberg von 3,8 Millionen Gulden konfrontiert. Einerseits leitete er einen Sparkurs ein, der auch die Auflösung der Hofkapelle unter der musikalischen Leitung von Joseph Haydn mit sich brachte. Andererseits veranlasste er die Ergänzung der Hauptfassade des Schlosses Esterházy mit einem von einer Kolonnade getragenen Balkon sowie den Bau von Hofstallungen.