Kóthe va estudiar matemàtiques, física, química i filosofia a la universitat de Graz entre 1923 i 1927, excepte un semestre a la universitat d'Innsbruck.[1] Després d'obtenir el doctorat a Graz el 1927, va fer estudis postdoctorals a les universitat de Zúric, Göttingen, Bonn i Münster, el que li va permetre estudiar amb Paul Finsler, Emmy Noether, Otto Toeplitz i Heinrich Behnke, respectivament.[2] El 1931 va obtenir l'habilitació docent a la universitat de Münster en la qual va donar classes fins a l'any 1940, quan va ser nomenat professor de la universitat de Giessen on va romandre fins al 1946. Tot i la seva col·laboració amb el Ministeri d'Afers Estrangers com assessor científic per l'encriptació de missatges,[3] el seu progrès acadèmic durant aquests anys va ser lent, prova indirecta de la seva hostilitat amb el règim nazi.[4]
Un cop acabada la Segona Guerra Mundial, va ser nomenat professor de la universitat de Magúncia, de la qual va ser rector entre 1954 i 1956.[5] El 1957 va ser nomenat director del recent fundat Institut de Matemàtica Aplicada de la universitat de Heidelberg,[6] de la qual també va ser rector el 1960-61. Finalment, el 1965 va ser nomenat professor de la universitat de Frankfurt. S'hi va jubilar el 1971.
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Gottfried Köthe» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.
Dörflinger, Gabriele. «Köthe, Gottfried». Homo Heidelbergensis mathematicus, 2015. [Consulta: 18 setembre 2021].(alemany)
«Gottfried Köthe». Verzeichnis der Professorinnen und Professoren der Universität Mainz. [Consulta: 18 setembre 2021].(alemany)