وحدة (نظرية الحلقات)

الوحدة (بالإنجليزية: Unit)‏ أو العنصر القابل للعكس هي عنصر في حلقة يمتلك معكوسًا ضربيًّا. إذا كان ${\displaystyle a}$ عددًا صحيحًا جبريًّا يقسم كل عدد صحيح جبري في الحقل، تُسمَّى ${\displaystyle a}$ حينها وحدة في ذاك الحقل. يمكن لحقل ما أن يحتوي عددًا غير منتهٍ من الوحدات. وحدات ${\displaystyle \mathbb {Z\!} _{n}}$ هي العناصر الأولية فيما بينها وبين ${\displaystyle n}$. وتسمى الوحدات المربعة الكاملة في ${\displaystyle \mathbb {Z\!} _{n}}$ البواقي التربيعية.

كل الحقول التربيعية الحقيقية ${\displaystyle \mathbb {Q\!} ({\sqrt {D\!}})}$ تمتلك الوحدتين ${\displaystyle \pm 1}$. أعداد الوحدات في الحقل التربيعي التخيلي ${\displaystyle \mathbb {Q\!} ({\sqrt {-D\!}})}$ حيث ${\displaystyle D\!=1,2,...}$ هي 4, 2, 6, 4, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 6, 2, ... (طالع هذه المتتالة من موسوعة المتتاليات الصحيحة على الإنترنت). ويوجد أربع وحدات لكل ${\displaystyle D\!=1,4,9,16,...}$ (طالع هذه المتتالية، وهي الأعداد المربعة الكاملة)، وستٌ لكل ${\displaystyle D\!=3,12,27,48,...}$ (طالع هذه المتتالية، وهي الأعداد المربعة الكاملة مضروبةً في ثلاثة)، واثنتان لكل الحقول التربيعية التخيلية الأخرى، أي ${\displaystyle D\!=2,5,6,7,8,10,11,...}$ (طالع هذه المتتالية). الجدول التالي يوضح الوحدات لقيم صغيرة لـ ${\displaystyle D\!}$، وتشير ${\displaystyle \omega }$ إلى الجذر المكعب للوحدة.[1]

${\displaystyle D\!}$	وحدات ${\displaystyle \mathbb {Q\!} ({\sqrt {-D}})}$
1	${\displaystyle \pm 1,\pm {i}}$
2	${\displaystyle \pm 1}$
3	${\displaystyle \pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}}$

مصادر

1. إيريك ويستاين، Unit، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).