مجموعة مثلثية

المصفوفة المثلثية التي يتكون تسلسلها القطري الأيمن من أرقام بيل

في الرياضيات والحوسبة، المجموعة المثلثية أو المصفوفة المثلثية من الأرقام أو كثيرات الحدود أو ما شابه ذلك، هي تسلسل مزدوج الفهرس حيث يكون كل صف فيه بطول فهرس الصف نفسه فقط. وهذا يعني أن الصف i يحتوي على i عناصر فقط.

أمثلة

ومن الأمثلة البارزة على ذلك ما يلي:

تسمى أحيانًا المصفوفات المثلثية للأعداد الصحيحة حيث يكون كل صف متماثلًا ويبدأ وينتهي بالرقم 1 مثلثات باسكال المعممة؛ وتشمل الأمثلة مثلث باسكال، وأعداد نارايانا، ومثلث أعداد أويلرية. [9]

التعميمات

قد تسرد المصفوفات المثلثية قيمًا رياضية غير الأرقام؛ على سبيل المثال، تشكل حدوديات بيل مصفوفة مثلثية حيث يكون كل مدخل في المصفوفة عبارة عن حدوديات. [10]

تم أيضًا النظر في المصفوفات التي ينمو فيها طول كل صف كدالة خطية لرقم الصف (بدلاً من أن يكون مساويًا لرقم الصف). [11]

التطبيقات

يمكن استخدام طريقة رومبرج لتقدير قيمة تكامل محدد عن طريق استكمال القيم في مثلث الأرقام. [12]

يستخدم تحويل بوستروفيدون مصفوفة مثلثية لتحويل تسلسل عدد صحيح واحد إلى آخر. [13]

بشكل عام، يتم استخدام المصفوفة المثلثية لتخزين أي جدول مفهرس بواسطة عددين طبيعيين حيث j ≤ i .

الفهرسة

يتطلب تخزين مصفوفة مثلثية في جهاز كمبيوتر تعيينًا من الإحداثيات ثنائية الأبعاد (i, j) إلى عنوان ذاكرة خطي. إذا كان من المقرر تخزين مصفوفتين مثلثيتين متساويتين في الحجم (كما هو الحال في تحلل LU)، فيمكن دمجهما في مصفوفة مستطيلة قياسية. إذا كان هناك مصفوفة واحدة فقط، أو يجب إضافتها بسهولة، يمكن تخزين المصفوفة حيث يبدأ الصف i عند الرقم المثلثي Ti. تمامًا مثل المصفوفة المستطيلة، يلزم إجراء عملية ضرب واحدة للعثور على بداية الصف، ولكن هذه العملية هي لمتغيرين ( i*(i+1)/2 )، لذا فإن بعض التحسينات مثل استخدام تسلسل من التحولات والإضافات غير متاحة.

انظر أيضا

  • عدد مثلثي، عدد الإدخالات في مثل هذه المصفوفة حتى صف معين

مراجع

  1. ^ Shallit، Jeffrey (1980)، "A triangle for the Bell numbers"، في Hoggatt، Verner E. Jr.؛ Bicknell-Johnson، Marjorie (المحررون)، A collection of manuscripts related to the Fibonacci sequence، Santa Clara, Calif.: Fibonacci Association، ص. 69–71، MR:0624091، مؤرشف من الأصل في 2024-07-17 {{استشهاد}}: الوسيط غير المعروف |مسار-الفصل= تم تجاهله (مساعدة).
  2. ^ Kitaev، Sergey؛ Liese، Jeffrey (2013)، "Harmonic numbers, Catalan's triangle and mesh patterns" (PDF)، Discrete Mathematics، ج. 313، ص. 1515–1531، arXiv:1209.6423، DOI:10.1016/j.disc.2013.03.017، MR:3047390، S2CID:18248485، مؤرشف من الأصل (PDF) في 2024-04-18.
  3. ^ Velleman، Daniel J.؛ Call، Gregory S. (1995)، "Permutations and combination locks"، Mathematics Magazine، ج. 68، ص. 243–253، DOI:10.1080/0025570X.1995.11996328، JSTOR:2690567، MR:1363707.
  4. ^ Miller، Philip L.؛ Miller، Lee W.؛ Jackson، Purvis M. (1987)، Programming by design: a first course in structured programming، Wadsworth Pub. Co.، ص. 211–212، ISBN:978-0-534-08244-4.
  5. ^ Hosoya، Haruo (1976)، "Fibonacci triangle"، The Fibonacci Quarterly، ج. 14، ص. 173–178.
  6. ^ Losanitsch, Sima M. (1897), "Die Isomerie-Arten bei den Homologen der Paraffin-Reihe" [The isomery species of the homologues of the paraffin series], Chem. Ber. (بالألمانية), vol. 30, pp. 1917–1926, DOI:10.1002/cber.189703002144, Archived from the original on 2023-01-12.
  7. ^ Barry، Paul (2011)، "On a generalization of the Narayana triangle" (PDF)، Journal of Integer Sequences، ج. 14، MR:2792161، مؤرشف من الأصل (PDF) في 2024-02-18.
  8. ^ Edwards، A. W. F. (2002)، Pascal's Arithmetical Triangle: The Story of a Mathematical Idea، JHU Press، ISBN:978-0-8018-6946-4.
  9. ^ Barry، Paul (2006)، "On integer-sequence-based constructions of generalized Pascal triangles" (PDF)، Journal of Integer Sequences، ج. 9، Bibcode:2006JIntS...9...24B، مؤرشف من الأصل (PDF) في 2023-11-19.
  10. ^ Rota Bulò، Samuel؛ Hancock، Edwin R.؛ Aziz، Furqan؛ Pelillo، Marcello (2012)، "Efficient computation of Ihara coefficients using the Bell polynomial recursion"، Linear Algebra and Its Applications، ج. 436، ص. 1436–1441، DOI:10.1016/j.laa.2011.08.017، MR:2890929.
  11. ^ Fielder، Daniel C.؛ Alford، Cecil O. (1991)، "Pascal's triangle: Top gun or just one of the gang?"، في Bergum، Gerald E.؛ Philippou، Andreas N.؛ Horadam، A. F. (المحررون)، Applications of Fibonacci Numbers (Proceedings of the Fourth International Conference on Fibonacci Numbers and Their Applications, Wake Forest University, N.C., U.S.A., July 30–August 3, 1990)، Springer، ص. 77–90، ISBN:9780792313090، مؤرشف من الأصل في 2024-03-12.
  12. ^ Thacher Jr.، Henry C. (يوليو 1964)، "Remark on Algorithm 60: Romberg integration"، Communications of the ACM، ج. 7، ص. 420–421، DOI:10.1145/364520.364542، S2CID:29898282.
  13. ^ Millar، Jessica؛ Sloane، N. J. A.؛ Young، Neal E. (1996)، "A new operation on sequences: the Boustrouphedon transform"، Journal of Combinatorial Theory، Series A، ج. 76، ص. 44–54، arXiv:math.CO/0205218، DOI:10.1006/jcta.1996.0087، S2CID:15637402.

روابط خارجية