في الرياضيات ، طريقة ديكارت هي طريقة جبرية لحل المعادلات التربيعية و الرباعية .
لهذه الغاية، استعمل ديكارت تعميل الحدوديات من الدرجة n إلى جداء حدوديات من الدرجة الأولى
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
⋯
(
x
−
x
n
)
{\displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})}
لحل المعادلة
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
نبدأ من العلاقتين التاليبين بين المعاملات والجذور :
x
1
+
x
2
=
−
b
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}
x
1
x
2
=
c
a
{\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}
من العلاقة الأولى نصل لـ
x
1
=
−
b
2
a
+
p
et
x
2
=
−
b
2
a
−
p
{\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+p\quad {\text{et}}\quad x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-p}
حيث p هي قيمة تحددها العلاقة الثانية.
هذه الطريقة شائعة جدًا، لو لدينا عدد C عبارة عن مجموع عددين A وB، يمكننا دائمًا كتابة A كنصف مجموع C وقيمة معينة p، وبذا تصبح قيمة B بالضرورة نصف قيمة C ناقص p.
لنصل لـ
(
−
b
2
a
+
p
)
(
−
b
2
a
−
p
)
=
c
a
{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}}+p\right)\left(-{\frac {b}{2a}}-p\right)={\frac {c}{a}}}
ونستنتج ±p ثم الجذرين.
ضمن ديكارت كتابه الهندسة
نعتبر المعادلة من الدرجة الرابعة في شكلها العام:
a
x
4
+
b
x
3
+
c
x
2
+
d
x
+
e
=
0
{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0~}
نضع
x
=
z
−
b
4
a
{\displaystyle x=z-{\frac {b}{4a}}~}
فنجد:
z
4
+
p
z
2
+
q
z
+
r
=
0
{\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r=0~}
يمكن تعميل رباعية الحدود اعلاه الى جداء حدوديتين من الدرجة الثانية حسب المبرهنة الاساسيةفي الجبر حيث معاملا حدي الدرجة الاولى للحدوديتين متقابلين لكون رباعية الحدود خالية من حد الدرجة الثالثة
z
4
+
p
z
2
+
q
z
+
r
=
(
z
2
+
a
z
+
b
)
(
z
2
−
a
z
+
c
)
{\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r=(z^{2}+az+b)(z^{2}-az+c)~}
ننشر فنجد:
z
4
+
p
z
2
+
q
z
+
r
=
z
4
+
(
b
+
c
−
a
2
)
z
2
−
a
(
b
−
c
)
z
+
b
c
{\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r=z^{4}+(b+c-a^{2})z^{2}-a(b-c)z+bc~}
حسب خاصية تساوي حدوديتين نستنتج أن:
{
b
+
c
−
a
2
=
p
a
(
b
−
c
)
=
−
q
b
c
=
r
{\displaystyle {\begin{cases}b+c-a^{2}=p\\a(b-c)=-q\\bc=r\end{cases}}}
أي
{
b
+
c
=
a
2
+
p
b
−
c
=
−
q
a
b
c
=
r
{\displaystyle {\begin{cases}b+c=a^{2}+p\\b-c=-{\frac {q}{a}}\\bc=r\end{cases}}}
بجمع المعادلتين الاوليين طرفا بطرف وطرحهما نحصل على
{
b
=
1
2
(
a
2
+
p
−
q
a
)
c
=
1
2
(
a
2
+
p
+
q
a
)
b
c
=
r
.
{\displaystyle {\begin{cases}b={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+p-{\frac {q}{a}}\right)\\c={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+p+{\frac {q}{a}}\right)\\bc=r.\end{cases}}}
بتعويض b و c في المعادلة الثالثة نجد
{
b
=
1
2
(
a
2
+
p
−
q
a
)
c
=
1
2
(
a
2
+
p
+
q
a
)
1
4
(
a
2
+
p
−
q
a
)
(
a
2
+
p
+
q
a
)
=
r
{\displaystyle {\begin{cases}b={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+p-{\frac {q}{a}}\right)\\c={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+p+{\frac {q}{a}}\right)\\{\frac {1}{4}}\left(a^{2}+p-{\frac {q}{a}}\right)\left(a^{2}+p+{\frac {q}{a}}\right)=r\end{cases}}}
نستنتج أن
(
a
2
+
p
)
2
−
q
2
a
2
=
4
r
{\displaystyle (a^{2}+p)^{2}-{\frac {q^{2}}{a^{2}}}=4r}
أي
a
6
+
2
p
a
4
+
(
p
2
−
4
r
)
a
2
−
q
2
=
0
{\displaystyle a^{6}+2pa^{4}+(p^{2}-4r)a^{2}-q^{2}=0}
نضع y=a² فنحصل على
y
3
+
2
p
y
2
+
(
p
2
−
4
r
)
y
−
q
2
=
0
{\displaystyle y^{3}+2py^{2}+(p^{2}-4r)y-q^{2}=0}
a
=
y
1
{\displaystyle a={\sqrt {y_{1}}}}
{
b
=
1
2
(
y
1
+
p
−
q
y
1
)
c
=
1
2
(
y
1
+
p
+
q
y
1
)
a
=
y
1
.
{\displaystyle {\begin{cases}b={\frac {1}{2}}\left(y_{1}+p-{\frac {q}{\sqrt {y_{1}}}}\right)\\c={\frac {1}{2}}\left(y_{1}+p+{\frac {q}{\sqrt {y_{1}}}}\right)\\a={\sqrt {y_{1}}}.\end{cases}}}
إذن
z
4
+
p
z
2
+
q
z
+
r
=
0
{\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r=0}
(
z
2
+
z
y
1
+
1
2
(
y
1
+
p
−
q
y
1
)
)
(
z
2
−
z
y
1
+
1
2
(
y
1
+
p
+
q
y
1
)
)
=
0
{\displaystyle \left(z^{2}+z{\sqrt {y_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left(y_{1}+p-{\frac {q}{\sqrt {y_{1}}}}\right)\right)\left(z^{2}-z{\sqrt {y_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left(y_{1}+p+{\frac {q}{\sqrt {y_{1}}}}\right)\right)=0}
z
2
+
z
y
1
+
1
2
(
y
1
+
p
−
q
y
1
)
=
0
{\displaystyle z^{2}+z{\sqrt {y_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left(y_{1}+p-{\frac {q}{\sqrt {y_{1}}}}\right)=0}
z
2
−
z
y
1
+
1
2
(
y
1
+
p
+
q
y
1
)
=
0
{\displaystyle z^{2}-z{\sqrt {y_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left(y_{1}+p+{\frac {q}{\sqrt {y_{1}}}}\right)=0}
z
1
=
1
2
(
−
y
1
+
−
y
1
−
2
p
+
2
q
y
1
)
{\displaystyle z_{1}={\frac {1}{2}}\left(-{\sqrt {y_{1}}}+{\sqrt {-y_{1}-2p+{\frac {2q}{\sqrt {y_{1}}}}}}\right)}
z
2
=
1
2
(
−
y
1
−
−
y
1
−
2
p
+
2
q
y
1
)
{\displaystyle z_{2}={\frac {1}{2}}\left(-{\sqrt {y_{1}}}-{\sqrt {-y_{1}-2p+{\frac {2q}{\sqrt {y_{1}}}}}}\right)}
z
3
=
1
2
(
y
1
+
−
y
1
−
2
p
−
2
q
y
1
)
{\displaystyle z_{3}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {y_{1}}}+{\sqrt {-y_{1}-2p-{\frac {2q}{\sqrt {y_{1}}}}}}\right)}
z
4
=
1
2
(
y
1
−
−
y
1
−
2
p
−
2
q
y
1
)
{\displaystyle z_{4}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {y_{1}}}-{\sqrt {-y_{1}-2p-{\frac {2q}{\sqrt {y_{1}}}}}}\right)}
