صيغة مشابهة لصيغة ماشن

في الرياضيات، الصيغ المشابهة لصيغة ماشن هي صنف خاص من المتطابقات المحتوية على π = 3.14159...[1][2] والتي تعمم صيغة جون ماشن. يعود تاريخ هاته الصيغة إلى عام 1706.

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}},}$

للصيغ المشابهة لصيغة ماشن الشكل التالي :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n}^{N}a_{n}\arctan {\frac {1}{b_{n}}}}$

حيث ${\displaystyle a_{n}}$ و ${\displaystyle b_{n}}$ أعداد صحيحة.

الاستنتاج

نظرا إلى قائمة المطابقات المثلثية، يُحصل على المتطابقتين التاليتين :

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }$

بوضع :

${\displaystyle \sin(\alpha )=a_{1}}$ ،${\displaystyle \sin(\beta )=a_{2}}$

${\displaystyle \cos(\alpha )=b_{1}}$ ،${\displaystyle \cos(\beta )=b_{2}}$

نجد أن:

${\displaystyle \arctan {\frac {a_{1}}{b_{1}}}+\arctan {\frac {a_{2}}{b_{2}}}=\arctan {\frac {a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{b_{1}b_{2}-a_{1}a_{2}}},}$

(3)

إذا توفر ما يلي : ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\arctan {\frac {a_{1}}{b_{1}}}+\arctan {\frac {a_{2}}{b_{2}}}<{\frac {\pi }{2}}.}$

${\displaystyle 2\arctan {\frac {1}{5}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{5}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {1*5+1*5}{5*5-1*1}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {10}{24}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {5}{12}}}$

${\displaystyle 4\arctan {\frac {1}{5}}}$

${\displaystyle =2\arctan {\frac {1}{5}}+2\arctan {\frac {1}{5}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {5}{12}}+\arctan {\frac {5}{12}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {5*12+5*12}{12*12-5*5}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {120}{119}}}$

${\displaystyle 4\arctan {\frac {1}{5}}-{\frac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle =4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{1}}}$

${\displaystyle =4\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {-1}{1}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {120}{119}}+\arctan {\frac {-1}{1}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {120*1+(-1)*119}{119*1-120*(-1)}}}$

${\displaystyle =\arctan {\frac {1}{239}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

مراجع

1. قالب:Note autre projet
2. Beckmann، Petr (1971). A History Of Pi. USA: The Golem Press. ص. 102. ISBN:0-88029-418-3. مؤرشف من الأصل في 2019-12-16.